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积分学中,椭圆积分最初出现于椭圆弧长有关的问题中。Guilio Fagnano欧拉是最早的研究者。现代数学将椭圆积分定义为可以表达为如下形式的任何函数 的积分

其中是其两个参数的有理函数是一个无重根的多项式,而是一个常数。

通常,椭圆积分不能用基本函数表达。这个一般规则的例外出现在有重根的时候,或者是,没有的奇数幂时。但是,通过适当的简化公式,每个椭圆积分可以变为只涉及有理函数和三个经典形式的积分。(也即,第一,第二,和第三类的椭圆积分)。

除下面给出的形式之外,椭圆积分也可以表达为勒让德形式Carlson对称形式。通过对施瓦茨-克里斯托费尔映射的研究可以加深对椭圆积分理论的理解。历史上,椭圆函数是作为椭圆积分的逆函数被发现的,特别是这一个:其中雅可比椭圆函数之一。

记法编辑

椭圆积分通常表述为不同变量的函数。这些变量完全等价(它们给出同样的椭圆积分),但是它们看起来很不相同。很多文献使用单一一种标准命名规则。在定义积分之前,先来检视一下这些变量的命名常规:

  •   模角;
  •   椭圆模;
  •   参数;

上述三种常规完全互相确定。规定其中一个和规定另外一个一样。椭圆积分也依赖于另一个变量,可以有如下几种不同的设定方法:

  •   幅度
  •   其中 
  •  ,其中  雅可比椭圆函数之一

规定其中一个决定另外两个。这样,它们可以互换地使用。注意 也依赖于 。其它包含 的关系有

 

 

后者有时称为δ幅度并写作 。有时文献也称之为补参数,补模或者补模角。这些在四分周期中有进一步的定义。

第一类不完全椭圆积分编辑

第一类不完全椭圆积分  定义为

 

与此等价,用雅可比的形式,可以设  ;则

 

其中,假定任何有竖直条出现的地方,紧跟竖直条的变量是(如上定义的)参数;而且,当反斜杠出现的时候,跟着出现的是模角。 在这个意义下, ,这里的记法来自标准参考书Abramowitz and Stegun

但是,还有许多不同的用于椭圆积分的记法。取值为椭圆积分的函数没有(象平方根正弦误差函数那样的)标准和唯一的名字。甚至关于该领域的文献也常常采用不同的记法。Gradstein, Ryzhik[1],  .(8.111)]采用 。该记法和这里的 ;以及下面的 等价。

和上面的不同对应的是,如果从Mathematica语言翻译代码到Maple语言,必须将EllipticK函数的参数用它的平方根代替。反过来,如果从Maple翻到Mathematica,则参数应该用它的平方代替。Maple中的EllipticK( )几乎和Mathematica中的EllipticK[ ]相等;至少当 时是相等的。

注意

 

其中 如上文所定义:由此可见,雅可比椭圆函数是椭圆积分的逆。

加法公式编辑

 

性质编辑

 
 
 
 
 
 
 
 

第一类不完全椭圆积分的导数编辑

 
 

第二类不完全椭圆积分编辑

第二类不完全椭圆积分  

 

与此等价,采用另外一个记法(作变量替换 ),

 

其它关系包括

 
 

加法公式编辑

 
 

性质编辑

 
 

第二类不完全椭圆积分的导数编辑

 
 
 

第三类不完全椭圆积分编辑

第三类不完全椭圆积分 

 

或者

 

或者

 

数字 称为特征数,可以取任意值,和其它参数独立。但是要注意 对于任意 是无穷的。

加法公式编辑

 

第三类不完全椭圆积分的导数编辑

 
 
 
 

特殊值编辑

 
 
 
 
 
 
 
 

第一类完全椭圆积分编辑

 
第一类完全椭圆积分 

如果幅度为 或者 ,则称椭圆积分为完全的。 第一类完全椭圆积分 可以定義为

 

或者

 

它是第一类不完全椭圆积分的特例:

 

这个特例可以表达为幂级数

 

它等价于

 

其中 表示双阶乘。利用高斯的超几何函数,第一类完全椭圆积分可以表达为

 

第一类完全椭圆积分有时称为四分周期。它可以利用算术几何平均值來快速计算。

 

复数值编辑

 
 


特殊值编辑

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

其中

 
 

第一类完全椭圆积分满足

 

导数编辑

 

漸近表示编辑

 

這個近似在k<1/2時相對誤差小於3×10−4,若只保留前兩項則誤差在k<1/2時小於0.01

微分方程编辑

此函數滿足以下微分方程

 

此微分方程之另一解為 ,此解滿足以下關係。

 .

第二类完全椭圆积分编辑

 
第二类完全椭圆积分 

第二类完全椭圆积分  可以定义为

 

或者

 

它是第二类不完全椭圆积分的特殊情况:

 

它可以用幂级数表达

 

也就是

 

高斯超几何函数表示的话,第二类完全椭圆积分可以写作

 

有如下性质

 
 


复数值编辑

 

特殊值编辑

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 


其中

 
 
 
 

导数、積分及微分方程编辑

 
 
 

此微分方程之另解為 

第三类完全椭圆积分编辑

 
不同 值的第三类完全椭圆积分 

第三类完全椭圆积分 可以定义为

 

注意有时第三类椭圆积分被定义为带相反符号的 ,也即

 

阿佩尔函数可表示为

 

第三类完全椭圆积分和第一类椭圆积分之间的关系

 

 

 

 

偏导数编辑

 
 

特殊值编辑

 
 
 
 
 
 
 

函數關係编辑

勒讓得闗係:

 

参看编辑

参考编辑