模曲線

代數幾何數論領域,模曲線是一類緊黎曼曲面,同時也是定義於某數域上的射影代數曲線。模曲線是當代數論、表示理論及代數幾何中重要的課題。

「模曲線」一詞源於以下事實:模曲線參數化了一族橢圓曲線,因而是一種模空間志村簇是模曲線在高維度的類比。

定義编辑

考慮上半平面  。取  模群   的有限指數子群之商,所得到的未必是緊緻空間。作完備化後便得到模曲線。可以證明模曲線必然是   上的平滑代數曲線;從複分析角度來看,便是緊黎曼曲面。

例子编辑

對正整數  ,定義同餘子群

 

相應的模曲線記為  ,也稱為古典模曲線。除了完備化添加的尖點外,其複值點一一對應於下述資料的同構等價類:

   是複橢圓曲線、  -撓點。

  時, 虧格等於零,否則其虧格則是

 

 模形式可理解為   上某族線叢的截面。此時可以用幾何方式研究赫克算子,因為它們由模曲線之間的對應給出。

外部連結编辑