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長度 (模論)

(重定向自模的長度

數學中,設 ,一個 -長度是一個整數(包括無窮大),它推廣了向量空間維度。有限長度的模與有限維向量空間有許多共通性。

動機编辑

單模是除了零和本身外沒有子模的,這種模有時也稱為不可約模。例如不可約的向量空間(視為除環上的模)是一條直線。對於單模,我們只可能造出一種嚴格遞增的子模鏈:

 

單模是容易處理的對象。對於一個   上的  -模  ,如果我們能找到一條嚴格遞增的子模鏈:

 

使得每個子商   都是單模,那麼此鏈將是極大的——我們無法插入新的子模。根據以下將闡述的定義,這時   將是有限長度的模,其長度  恰為  

因此單模正好是長度為一的模。另一個例子:設   是域   上的有限維向量空間,那麼一個極大的子模鏈是一族子空間  ,使得維度在每一步都加一:

 

而此時  ,這種資料稱作

定義编辑

  為一個(可能非交換), 一個  -模  長度定義為嚴格遞增的子模鏈長度的上確界:此即最大可能的整數  (可能是無窮大),使得   中存在嚴格遞增的子模鏈  。模   的長度記為  ,不致混淆時也逕寫作  

例子编辑

  •  單模的充要條件是長度為一。
  • 對於向量空間,長度等於維度。
  • 整數環   視為  -模,則其長度為無窮大,因為存在任意長的子模鏈  
  • 設正整數   的素因數分解為  ,則有
 

性質编辑

有限長的模具有許多類似有限維向量空間的性質。例如:若   為有限長模,則其子模皆有限長,設   為兩個子模,  ,則  

我們有 Grassman 公式:

 

對於有限長模  ,一個極大的子模鏈   稱為一個合成列,其長度   是固定的,且合成因子   在至多差一個置換與同構的意義下唯一。

此外,一個模是有限長模若且唯若它同時是阿廷模諾特模

文獻编辑

  • Serge Lang, Algebra (2002), Graduate Texts in Mathematics 211, Springer. ISBN 0-387-95385-X