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欧几里得定理数论中的基本定理,定理指出素数的个數是无限的。该定理有许多著名的证明。

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欧几里得的证明编辑

欧几里得在他的著作《几何原本》(第九卷的定理20)[1]提出了证明,大意如下[2]

对任何有限素数的集合 。在这裡将会证明最少存在一个集合中沒有的额外素数。令  。那么 是素数或者不是,二者必居其一:

  • 如果 是素数,那么至少有一个素数不在有限素数集 中。
  • 如果 不是素数,那么存在一个素数因子 整除 ,如果 在我们的有限素数集中, 必然整除 (既然 是素数有限集中所有素数的积);但是,已知 整除 ( ),如果 同时整除   必然整除  之差[3] ——  。但是没有素数能整除 ,即有 整除 就不存在 整除 。因此 不在有限集 中。

这证明了:对于任何一个有限素数集,总存在一个素数不在其中。所以素数一定是无限的。

很多时候有人会错误地指出欧几里得是用了反证法,他们假设证明起初考虑的是所有自然数的集合,或是集合內含有 个最小的素数,而不是任何任意的素数集合[4]。欧几里得证明用的不是反证法,而是证明了一個有限集合中沒有任何拥有特殊性质的元素。当中并沒有反论的部分,但集合中的任何元素都不可以整除1。

文献中存在数个版本的欧几里得证明,包括以下的:

正整数 的階乘 可被  的所有整数整除,这是由於它是这些数全部的乘积。因此 并不能被  (包括 )的任何自然数所整除(所得的余数皆为 )。因此 有兩个可能性:是素数,或者能被大于 所整除。在任一个案中,对所有正整数 而言都存在最小一个比 大的素数。所以结论就是共有无限个素数[5]

欧拉的证明编辑

另一个由瑞士数学家莱昂哈德·欧拉提出的证明,则使用了算术基本定理:每一个自然数都有一组独一无二的素因子排列。设 为所有素数的集合,欧拉写下了:

 

第一条等式是由乘积中每一项的等比数列公式所得。而第二个等式则是用于黎曼ζ函数欧拉乘积。为了证实此点,可把乘积分配进和裡面:

 

在这个结果中,每一个素数积都出现了正好一次,因此由算术基本定理可得这个和等于所有自然数的和。

右边的和是发散的調和级数。因此左边的和也是发散的。由于乘积內每一个项都是有限的,所以其项数必须为无限;因此得出共有无限个素数。

埃尔德什的证明编辑

埃尔德什·帕尔的第三种证明也是靠算术基本定理的。首先注意每一个自然数 都能被写成独一无二的

 

其中 平方数,或任何平方数的倍数(设 为能整除 的最大平方数,并使 )。此時假设素数的数量为有限,且其数量为 。由於每个素数只有一个非平方数的因子,所以根据算术基本定理,得出共有非平方数 个。(見組合#在集合中取出k項元素 

現在把一个正整数 固定,并考虑1與 之间的自然数。 这些数每一个都能被写成 ,其中 为非平方数, 为平方数,例如:

 

集合中共有 个不同的数。每一个都是由非方數和比 小的平方数组成。这样的平方数共有 (見高斯符号的取底符号)。然后把这些小於 的平方數乘积与其余所有的非平方数相乘。这样得出的数一共有 个,各不相同,因此它们包括了所有我们集合裡的数,甚至更多。因此, 

由于此不等式对足够大的 並不成立,因此必须存在無限个素数。

弗斯滕伯格的证明编辑

一些近期的证明编辑

皮纳西科编辑

胡安·帕布洛·皮纳西科(Juan Pablo Pinasco)写下了以下的证明[6]

 为最小的 个素数。然后根据容斥原理可得,少於或等如 又同時能被那些素数中其中一个整除的正整数的个数为

 

把全式除以 ,并且让 ,得

 

上式可被改写为

 

若除了 以外不存在其他素数的话,则式(1)与  相等,而式(2)则等于 ,但很明顯地式(3)并不等于 。因此除了 以外必须要存在其他素数。

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俊浩·彼得·黃(Junho Peter Whang)于2010年发表了使用反证法的证明[7]。设 为任何正整数, 为素数。根据勒让德定理,则可得:

 

其中

 
 

但若只存在有限个素数,則

 

(上式分子呈单指數增長,但斯特灵公式指出分母的增长速度比分子快),这样就违反了每一个 的分子要比分母大的这一点。

塞达克编辑

菲利浦·塞达克(Filip Saidak)给出了以下的证明,当中沒有用到归谬法 (而大部分欧几里得定理的证明都用了,包括欧几里得自己的证明),而同时不需要用到欧几里得引理,也就是若素数 整除 則也必能整除  。证明如下:

由于每个自然數( )最少拥有一个素因子,所以兩个相邻数字  必定沒有共同因子,而乘积 則比数字 本身拥有更多因子。因此普洛尼克數的鏈:
1×2 = 2 {2},    2×3 = 6 {2, 3},    6×7 = 42 {2,3, 7},    42×43 = 1806 {2,3,7, 43},    1806×1807 = 3263443 {2,3,7,43, 13,139}, · · ·
提供了一组素数集合無限增长的数列。

使用π的無理性的证明编辑

以欧拉乘积来表示π的莱布尼茨公式可得[8]

 

乘积的分子为奇数的素数,而每一个分母则是最接近分子的4的倍数。

若存在的素数是有限的话,上式所展示的就是π是一个有理数,而分母是所有與素数多1或少1的4的倍数的乘积,而这点违反了π实际上是无理数的这一点。

使用信息论的证明编辑

亞历山大·沈(音譯,Alexander Shen)与其他人发表了利用不能壓縮性英语Incompressiblity method的证明[9]

设只存在 素数( )。由算术基本定理可得,任何正整数 都能被写成:

 

其中非負自然数 與素数的有限集合就足够重构任何數字。由於所有 都遵守 ,因此可得所有\ (其中 代表底数為2的对数)。

由此可得 的编码大小(使用大O符号):

  位元

(其中prime list size为素数集合的大小)这编码比直接用二进制代表 要有效得多,二进制的话需要 位元。无损数据压缩的一个已被确立的结果指出,一般不可能把 位元的信息压縮到少於 位元。由於 ,所以當 足够大时,以上的这个表示不成立。

因此,素数的数量必不能为有限。

参阅编辑

注释和参考资料编辑

  1. ^ James Williamson (translator and commentator), The Elements of Euclid, With Dissertations, Clarendon Press, Oxford, 1782, page 63.
  2. ^ 欧几里德主张的準确表述为:“素数比任何可以提出的量都要多”。在这个证明中,假定了最少存在三个素数,欧几里得则由此推论出必存在第四个素数。
  3. ^ 一般來说,对任何整数   而言,若  成立的话,则 必成立。見整除性
  4. ^ Michael Hardy and Catherine Woodgold, "Prime Simplicity", Mathematical Intelligencer, volume 31, number 4, fall 2009, pages 44–52.
  5. ^ Bostock, Linda; Chandler, Suzanne; Rourke, C. Further Pure Mathematics. Nelson Thornes. 2014-11-01: 168. ISBN 9780859501033 (英语). 
  6. ^ Juan Pablo Pinasco, "New Proofs of Euclid's and Euler's theorems", American Mathematical Monthly, volume 116, number 2, February, 2009, pages 172–173.
  7. ^ Junho Peter Whang, "Another Proof of the Infinitude of the Prime Numbers", American Mathematical Monthly, volume 117, number 2, February 2010, page 181.
  8. ^ Debnath, Lokenath, The Legacy of Leonhard Euler: A Tricentennial Tribute, World Scientific: 214, 2010, ISBN 9781848165267 .
  9. ^ Shen, Alexander, Kolmogorov complexity and algorithmic randomness (PDF), AMS: 245, 2016 

外部链接编辑