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歐幾里得整環

具有歐幾里德函數的交換環使得歐幾里德分割成為可能
(重定向自欧几里得整环

抽象代數中,歐幾里得整環Euclidean domain)是一種能作輾轉相除法整環。凡歐幾里得整環必為主理想環

定義编辑

一個歐幾里得整环是一整環   及函數  ,使之滿足下述性質:

  •   ,則存在   使得  ,而且  ,或者  
  •   整除  ,則  

函數   可設想成元素大小的量度,當   時可取  

例子编辑

歐幾理得整環的例子包括了:

  • 整數環   
  • 高斯整數 
  • 上的多項式環 )與冪級數環(  定義為使   的最大非負整數  )。
  • 離散賦值環  定義為使   的最大非負整數  ,其中   表該離散賦值環的唯一極大理想

利用輾轉相除法(定義中的第一條性質),可以證明歐幾里得環必為主理想环,此時理想由其中  -值最小的元素生成。由此得到一個推論:歐幾里得整環必為唯一分解環

並非所有主理想環都是歐幾里得整環,Motzkin 證明了  整數環在   時並非歐幾里得整環,卻仍是主理想環。這方面的進一步結果詳見以下文獻。

文獻编辑

  • Motzkin. The Euclidean algorithm, Bull. Amer. Math. Soc. 55, (1949) pp. 1142--1146
  • Weinberger. On Euclidean rings of algebraic integers in "Analytic number theory", Proc. Sympos. Pure Math., Vol. XXIV, St. Louis Univ., St. Louis, MO (1972) published by Amer. Math. Soc. (1973) pp. 321--332
  • Harper and Murty, Canad. J. Math. Vol. 56 (1) (2004) pp. 71--76