欧拉定理 (几何)

在平面几何学中的欧拉定理是说,三角形外心内心之间的距离 可表示为

其中外接圆半径内切圆半径。

从欧拉定理可推出欧拉不等式 (當三角形等邊時,等號成立):

 ≥ 

证明编辑

(1)當 時,表示外心 與內心 重合,此時易證三角形 為正三角形,且 ,因此 

(2)當 大於 時,請參考右下圖:

(a)设三角形 的外心为 ,内心为 ,延长 交外接圆于 ,则 为弧 的中点。连 延长交外接圆于 ,过  垂直于  为垂足,则 。易证三角形 与三角形 相似,故 ,即 。所以 

(b)连接 ,因

 
 

所以 ,有 ,由(a)的結論知 

(c)設 延长线交外接圆于  两点,则 ,所以 ,即