Β函数 ，又称为贝塔函数 或第一类欧拉积分 ，是一个特殊函数 ，由下式定义：
一种B函数图像
B
(
x
,
y
)
=
∫
0
1
t
x
−
1
(
1
−
t
)
y
−
1
d
t
{\displaystyle \mathrm {\mathrm {B} } (x,y)=\int _{0}^{1}t^{x-1}(1-t)^{y-1}\,\mathrm {d} t\!}
其中
Re
(
x
)
,
Re
(
y
)
>
0
{\displaystyle {\textrm {Re}}(x),{\textrm {Re}}(y)>0\,}
Β函数具有以下對稱 性質：
B
(
x
,
y
)
=
B
(
y
,
x
)
.
{\displaystyle \mathrm {B} (x,y)=\mathrm {B} (y,x).\!}
当x,y是正整数的时候，我们可以从伽马函数定义得到如下式子：
B
(
x
,
y
)
=
(
x
−
1
)
!
(
y
−
1
)
!
(
x
+
y
−
1
)
!
{\displaystyle \mathrm {B} (x,y)={\dfrac {(x-1)!\,(y-1)!}{(x+y-1)!}}\!}
它有许多其它的形式，包括：
B
(
x
,
y
)
=
Γ
(
x
)
Γ
(
y
)
Γ
(
x
+
y
)
{\displaystyle \mathrm {B} (x,y)={\dfrac {\Gamma (x)\,\Gamma (y)}{\Gamma (x+y)}}\!}
B
(
x
,
y
)
=
2
∫
0
π
2
(
sin
θ
)
2
x
−
1
(
cos
θ
)
2
y
−
1
d
θ
,
Re
(
x
)
>
0
,
Re
(
y
)
>
0
{\displaystyle \mathrm {B} (x,y)=2\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}(\sin \theta )^{2x-1}(\cos \theta )^{2y-1}\,\mathrm {d} \theta ,\qquad {\textrm {Re}}(x)>0,\ {\textrm {Re}}(y)>0\!}
B
(
x
,
y
)
=
∫
0
∞
t
x
−
1
(
1
+
t
)
x
+
y
d
t
,
Re
(
x
)
>
0
,
Re
(
y
)
>
0
{\displaystyle \mathrm {B} (x,y)=\int _{0}^{\infty }{\dfrac {t^{x-1}}{(1+t)^{x+y}}}\,\mathrm {d} t,\qquad {\textrm {Re}}(x)>0,\ {\textrm {Re}}(y)>0\!}
B
(
x
,
y
)
=
∑
n
=
0
∞
(
n
−
y
n
)
x
+
n
,
{\displaystyle \mathrm {B} (x,y)=\sum _{n=0}^{\infty }{\dfrac {n-y \choose n}{x+n}},\!}
B
(
x
,
y
)
=
∏
n
=
0
∞
(
1
+
x
y
n
(
x
+
y
+
n
)
)
−
1
,
{\displaystyle \mathrm {B} (x,y)=\prod _{n=0}^{\infty }\left(1+{\dfrac {xy}{n(x+y+n)}}\right)^{-1},\!}
B
(
x
,
y
)
⋅
B
(
x
+
y
,
1
−
y
)
=
π
x
sin
(
π
y
)
,
{\displaystyle \mathrm {B} (x,y)\cdot \mathrm {B} (x+y,1-y)={\dfrac {\pi }{x\sin(\pi y)}},\!}
B
(
x
,
y
)
=
1
y
∑
n
=
0
∞
(
−
1
)
n
y
n
+
1
n
!
(
x
+
n
)
{\displaystyle \mathrm {B} (x,y)={\dfrac {1}{y}}\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{\dfrac {y^{n+1}}{n!(x+n)}}\!}
其中
Γ
{\displaystyle \Gamma \,}
伽玛函数 。
就像伽玛函数描述了阶乘 一样，我们也可以用贝塔函数来定义二项式系数 ：
(
n
k
)
=
1
(
n
+
1
)
B
(
n
−
k
+
1
,
k
+
1
)
{\displaystyle {n \choose k}={\frac {1}{(n+1)\mathrm {B} (n-k+1,k+1)}}}
伽玛函数与贝塔函数之间的关系
编辑
为了推出两种函数之间的关系，我们把两个阶乘的乘积写为：
Γ
(
x
)
Γ
(
y
)
=
∫
0
∞
e
−
u
u
x
−
1
d
u
∫
0
∞
e
−
v
v
y
−
1
d
v
.
{\displaystyle \Gamma (x)\Gamma (y)=\int _{0}^{\infty }\ e^{-u}u^{x-1}\,\mathrm {d} u\int _{0}^{\infty }\ e^{-v}v^{y-1}\,\mathrm {d} v.\!}
现在，设
u
=
a
2
{\displaystyle u=a^{2}}
v
=
b
2
{\displaystyle v=b^{2}}
Γ
(
x
)
Γ
(
y
)
=
4
∫
0
∞
e
−
a
2
a
2
x
−
1
d
a
∫
0
∞
e
−
b
2
b
2
y
−
1
d
b
=
∫
−
∞
∞
∫
−
∞
∞
e
−
(
a
2
+
b
2
)
|
a
|
2
x
−
1
|
b
|
2
y
−
1
d
a
d
b
.
{\displaystyle {\begin{aligned}\Gamma (x)\Gamma (y)&{}=4\int _{0}^{\infty }\ e^{-a^{2}}a^{2x-1}\mathrm {d} a\int _{0}^{\infty }\ e^{-b^{2}}b^{2y-1}\,\mathrm {d} b\\&{}=\int _{-\infty }^{\infty }\ \int _{-\infty }^{\infty }\ e^{-(a^{2}+b^{2})}|a|^{2x-1}|b|^{2y-1}\,\mathrm {d} a\,\mathrm {d} b.\end{aligned}}\!}
利用变量代换
a
=
r
cos
θ
{\displaystyle a=r\cos \theta }
b
=
r
sin
θ
{\displaystyle b=r\sin \theta }
Γ
(
x
)
Γ
(
y
)
=
∫
0
2
π
∫
0
∞
e
−
r
2
|
r
cos
θ
|
2
x
−
1
|
r
sin
θ
|
2
y
−
1
r
d
r
d
θ
=
∫
0
∞
e
−
r
2
r
2
x
+
2
y
−
2
r
d
r
∫
0
2
π
|
(
cos
θ
)
2
x
−
1
(
sin
θ
)
2
y
−
1
|
d
θ
=
1
2
∫
0
∞
e
−
r
2
r
2
(
x
+
y
−
1
)
d
(
r
2
)
4
∫
0
π
2
(
cos
θ
)
2
x
−
1
(
sin
θ
)
2
y
−
1
d
θ
=
Γ
(
x
+
y
)
2
∫
0
π
2
(
cos
θ
)
2
x
−
1
(
sin
θ
)
2
y
−
1
d
θ
=
Γ
(
x
+
y
)
B
(
x
,
y
)
.
{\displaystyle {\begin{aligned}\Gamma (x)\Gamma (y)&{}=\int _{0}^{2\pi }\ \int _{0}^{\infty }\ e^{-r^{2}}|r\cos \theta |^{2x-1}|r\sin \theta |^{2y-1}r\,\mathrm {d} r\,\mathrm {d} \theta \\&{}=\int _{0}^{\infty }\ e^{-r^{2}}r^{2x+2y-2}r\,\mathrm {d} r\int _{0}^{2\pi }\ |(\cos \theta )^{2x-1}(\sin \theta )^{2y-1}|\,\mathrm {d} \theta \\&{}={\frac {1}{2}}{\color {red}{\int _{0}^{\infty }\ e^{-r^{2}}r^{2(x+y-1)}\,\mathrm {d} (r^{2})}}\,4\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\ (\cos \theta )^{2x-1}(\sin \theta )^{2y-1}\,\mathrm {d} \theta \\&{}={\color {red}{\Gamma (x+y)}}\,2\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\ (\cos \theta )^{2x-1}(\sin \theta )^{2y-1}\,\mathrm {d} \theta \\&{}=\Gamma (x+y)\mathrm {B} (x,y).\end{aligned}}}
因此，有：
B
(
x
,
y
)
=
Γ
(
x
)
Γ
(
y
)
Γ
(
x
+
y
)
.
{\displaystyle \mathrm {B} (x,y)={\frac {\Gamma (x)\,\Gamma (y)}{\Gamma (x+y)}}.}
贝塔函数的导数是：
∂
∂
x
B
(
x
,
y
)
=
B
(
x
,
y
)
(
Γ
′
(
x
)
Γ
(
x
)
−
Γ
′
(
x
+
y
)
Γ
(
x
+
y
)
)
=
B
(
x
,
y
)
(
ψ
(
x
)
−
ψ
(
x
+
y
)
)
{\displaystyle {\partial \over \partial x}\mathrm {B} (x,y)=\mathrm {B} (x,y)\left({\Gamma '(x) \over \Gamma (x)}-{\Gamma '(x+y) \over \Gamma (x+y)}\right)=\mathrm {B} (x,y)(\psi (x)-\psi (x+y))}
其中
ψ
(
x
)
{\displaystyle \psi (x)}
双伽玛函数 。
斯特灵公式 给出了一个用来近似计算贝塔函数的公式：
B
(
x
,
y
)
≈
2
π
x
x
−
1
2
y
y
−
1
2
(
x
+
y
)
x
+
y
−
1
2
.
{\displaystyle \mathrm {B} (x,y)\approx {\sqrt {2\pi }}{\frac {x^{x-{\frac {1}{2}}}y^{y-{\frac {1}{2}}}}{\left({x+y}\right)^{x+y-{\frac {1}{2}}}}}.}
不完全贝塔函数
编辑
不完全贝塔函数 是贝塔函数的一个推广，把贝塔函数中的定积分 用不定积分 来代替，就像不完全伽玛函数 是伽玛函数的推广一样。
不完全贝塔函数定义为：
B
(
x
;
a
,
b
)
=
∫
0
x
t
a
−
1
(
1
−
t
)
b
−
1
d
t
.
{\displaystyle \mathrm {B} (x;\,a,b)=\int _{0}^{x}t^{a-1}\,(1-t)^{b-1}\,dt.\!}
当x = 1，上式即化为贝塔函数。
正则不完全贝塔函数 （或简称正则贝塔函数 ）由贝塔函数和不完全贝塔函数来定义：
I
x
(
a
,
b
)
=
B
(
x
;
a
,
b
)
B
(
a
,
b
)
.
{\displaystyle I_{x}(a,b)={\dfrac {\mathrm {B} (x;\,a,b)}{\mathrm {B} (a,b)}}.\!}
当a 和b 是整数时，计算以上的积分（可以用分部积分法 ），可得：
I
x
(
a
,
b
)
=
∑
j
=
a
a
+
b
−
1
(
a
+
b
−
1
)
!
j
!
(
a
+
b
−
1
−
j
)
!
x
j
(
1
−
x
)
a
+
b
−
1
−
j
.
{\displaystyle I_{x}(a,b)=\sum _{j=a}^{a+b-1}{(a+b-1)! \over j!(a+b-1-j)!}x^{j}(1-x)^{a+b-1-j}.}
正则不完全贝塔函数是Β分布 的累積分布函數 ，可由二項式分布 描述一個實隨機變量 X的機率分布：
F
(
k
;
n
,
p
)
=
Pr
(
X
≤
k
)
=
I
1
−
p
(
n
−
k
,
k
+
1
)
=
1
−
I
p
(
k
+
1
,
n
−
k
)
{\displaystyle F(k;n,p)=\Pr(X\leq k)=I_{1-p}(n-k,k+1)=1-I_{p}(k+1,n-k)}
其中p為試驗成功 機率，n為樣本數。
I
0
(
a
,
b
)
=
0
{\displaystyle I_{0}(a,b)=0\,}
I
1
(
a
,
b
)
=
1
{\displaystyle I_{1}(a,b)=1\,}
I
x
(
a
,
b
)
=
1
−
I
1
−
x
(
b
,
a
)
{\displaystyle I_{x}(a,b)=1-I_{1-x}(b,a)\,}
参考文献
编辑
M. Zelen and N. C. Severo. in Milton Abramowitz and Irene A. Stegun, eds. Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables.（See §6.2, 6.6, and 26.5） （页面存档备份 ，存于互联网档案馆 ）
W. H. Press, B. P. Flannery, S. A. Teukolsky, W. T. Vetterling. Numerical Recipes in C(See section 6.4)
用拉普拉斯变换来计算贝塔函数 . PlanetMath . 外部链接
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