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正四面體

柏拉图立体
正四面體
正四面體
(按這裡觀看旋轉模型)
類別 正多面体
4
6
頂點 4
歐拉特徵數 F=4, E=6, V=4 (χ=2)
面的種類 正三角形
面的佈局英语Face configuration 4{3}
頂點圖 3.3.3
施萊夫利符號 {3,3}
對稱群 3
參考索引 U01, C15, W1
對偶 正四面體
二面角 70.528779° = arccos(1/3)
特性 三角面多面體
Tetrahedron vertfig.png
3.3.3
頂點圖
Tetrahedron flat.svg
(展開圖)

正四面體是由四個等邊三角形組成的正多面體,是一种錐體,有4個頂點、6條邊和4个正三角形面。

立方體的其中四個頂點两两相連,而這四個頂點任何兩條都沒有落在立方體同一條的上,可得到一個正四面體,其邊長為立方體邊長,其體積為立方體體積,从这里看,正四面体是半立方体。 正四面体是一个拥有无穷多个成员的多胞形家族—正单纯形家族的3维成员。正四面体是一种棱锥体,即它可以被描述成由一个多边形底面和链接底面和一个共同顶点的三角形面组成,对于正四面体来说,这个底面是正三角形,并且它的侧面也都是正三角形,应此正四面体是正三棱锥。
正四面体是三维的正单纯形(3-simplex),这意味着四面体是三维中最简单的多面体,顶点数、棱数、面数比它少的多面体都只能成为退化多面体,同时在更高维的超空间中,任意4个顶点一定共在同一三维空间中,这4个顶点若不存在四点共面、三点共线和两点重合的情况,一定能构成一个四面体,并且只要6条棱的长度确定了,四面体就被唯一确定了(即四面体具有稳定性。这是单纯形面多胞形共有的一个基本特性),由此可知,一个四面体的6条棱长都相等,则其一定是一个正四面体。正四面体是柏拉图立体中唯一一个所有顶点之间的距离都相等的,同时正四面体也是三维空间中使4个顶点每两个顶点间距离相等的唯一方式。

正四面體的對偶多面體就是它自己
正四面體外接正六面體
Tetraeder-Animation.gif

目录

性質编辑

面的圖形:等邊三角形
頂點數目:4
邊數目:6
面數目:4
二面角角度:  ≈ 70.5288°
面棱夹角:  ≈ 54.7356°
中心-顶点连线之间夹角:  ≈ 109.4712°
面所对立体角  ≈ 0.55129 sr 对于棱长为a的正四面体:
底面积: 
高: 
表面積: 
體積: 
外接球半徑: 
內切球半徑: 
中交球半徑: 
旁切球半径: 
旁切球到顶点距离: 
對偶多面體:正四面體
注意到相对于底面,面的斜率(2√2)是棱的斜率(√2)的两倍,这意味着由于从底面沿棱到顶点的水平距离是沿侧面中线到顶点水平距离的2倍,而这是由于从底面重心到底面顶点的距离是到底面边距离的2倍,这由中心分中线为2:1或是30°直角三角形的三边关系即刻可得出。

坐标系编辑

如果我们以正四面体的中心作为原点建立三维直角坐标系的话,棱长a=2的正四面体的顶点坐标可以表示为:

 
 

另一种表示方法把正四面体看作是半立方体,它有立方体一半的顶点:(如果原正方体棱长为1的话,正四面体棱长为√2)
(1,1,1), (1,-1,-1), (-1,1,-1), (-1,-1,1)
另外,被交错舍弃掉的那四个顶点构成了与原来正四面体对偶的另一个正四面体:
(-1,-1,-1), (-1,1,1), (1,-1,1), (1,1,-1)
它们一起构成了星形八面体

正交投影编辑

正四面体有2个特殊角度的正交投影,即一下列表中的两个。第一个投影对应着正四面体的A3考克斯特平面英语Coxeter plane

正交投影
正对于 面/顶点
图像    
投影
对称性
[4] [3]

具有其它对称形式的正四面体编辑

正四面体是所有四面体中对称性最高的,而然它也可被看作是更低对称性四面体的特殊形式,例如正四面体是特殊的複正方鍥形體,这种四面体拥有4个全等等腰三角形(对于正四面体,这些等腰三角形的底和腰相等了,成为了等边三角形),可以被描述为正四棱柱交错(对于正四面体,这个正四棱柱是正方形),一种能够密铺空间的四面体就是复正方锲形体。另外还有复斜方锲形体和二面体锲形体,它们分别是长方体和任意四角六面体的交错。

名称 考克斯特
符号
英语Coxeter diagram
对称性英语List_of_spherical_symmetry_groups
申弗利斯英语Schönflies_notation 考克斯特英语Coxeter notation 轨形符号英语Orbifold notation
二面体锲形体 两种
等腰三角形
D1h [2] (*22) 4
複斜方鍥形體
(非等腰四面体)
      全等的
任意三角形
D2 [2,2]+ (222) 4
正三棱锥 一个等边三角形底面和三个全等的等腰三角形 C3v [3] (*33) 6
複正方鍥形体
(等腰四面体)
      全等的
等腰三角形
D2d [2+,4] (2*2) 8
正四面体       全等的
等边三角形
Td [3,3] (*332) 24

此外,由于正四面体具有高度的对称性,它还是其它一些四面体的特例,例如:垂心四面体英语Orthocentric tetrahedron,因为其3组相对的边互相垂直;等力四面体,因为其所有4条顶点到对面内心连线(一种塞瓦线英语Cevian)是共点的;等角四面体,因为其所有顶点到对面与内切球切点的连线是共点的。

等距同构下的对称性编辑

正四面体等距同构对称变换群编辑

 
严格旋转—顶点对面120°(3阶)旋转、边对边180°(2阶)旋转;及镜面对称(沿一条边、穿过两面即一边)
 
正四面体子对称群之间的关系

立方体的8个顶点可以交错着被分成2组,每一组都能组成一个正四面体,这意味着正四面体拥有立方体一半的对称性,即那些能将立方体内部的正四面体变换到自身而不是对方的对称性。而由于立方体的所有中心对称都会将内接正四面体变换到对方,因此正四面体是柏拉图立体中唯一一个没有中心对称性的。
正四面体有24个不同的等距同构的对称变换,形成了对称群Td,[3,3],(*332),与对称群S4同构。它可以用如下方式分类:

  • T,[3,3]+,(332),与交错群A4(包括单位元和11个严格旋转)同构,再加上下述共轭类。(在括号内给出的是顶点排列,或者说是相对应的面和单位四元数表示。)
    • 单位元
    • 以顶点到对面垂线所在直线为旋转轴的旋转,旋转角为±120°。共4根轴,每根轴对应2个旋转,共8个 (顶点排列(1 2 3),例如乘以单位四元数(1 ± i ± j ± k)/2)。
    • 将边旋转到它对边原来的位置的180°的旋转:共3个(顶点排列(1 2,3 4),例如乘以ijk)。
  • 关于垂直于边的平面的镜面对称:6个。
  • 关于平面的镜面对称加上关于垂直于该平面的直线的90°旋转的混合。三条轴,每条轴对应2个旋转,共6个。另外,还有90°旋转加上中心对称变换,旋转轴对应着立方体的面对面旋转轴。

正四面体的非正四面体子对称变换群编辑

7种非正四面体(无标记)的对称性取决于它的几何特征。任何一种非正对称变换组都能组成一个三维点群,另外两种对称性(C3, [3]+)和(S4, [2+,4+])要求面和棱标记是被允许的。

几何关联编辑

 
复锲形体堆砌

正四面体是三维的单纯形,这个家族在所有维度的成员都是凸的多面体。它们都具有类似的几何性质,比如它们n维元素都符合一个相同的规律(杨辉三角形),以及它们都是该维最简单的多胞形(这也是单纯形英文“simplex”—“简单的复杂”的来源)。

正四面体是一种特殊的正三棱锥,正四面体是自身对偶的。

正四面体可以以两种中心对称的方式内含于立方体,使得正四面体的顶点交错着与立方体顶点重和,而正四面体的棱成为立方体6个面的对角线,对应坐标已在上部分给出。这意味着正四面体就是三维的半立方体。这两个正四面体的任意一个都占据了立方体体积的1/3。这样得到的两个正四面体是以互相对偶的方式部分重合的其顶点占据了立方体所有的顶点,它们一起组成了正复合多面体星形八面体,也叫做二复合正四面体,这星形八面体应此是立方体的第一个也是唯一一个小面化英语faceting(Faceting),而星形八面体两正四面体的交集是正八面体,应此它也是正八面体唯一的星形化英语stellation(Stellation)。

从这里我们还可以看出来,正八面体是正四面体从各边中点处截下4个包括原顶点在内的线性大小为原正四面体一半的正四面体得到的结果。(这种操作叫“截半”,得到的正八面体是作为“截半四面体”出现的,只具有正四面体的对称性)

从立方体得到正四面体的操作叫“交错”,这种操作将正方体分成5个四面体,其中一个是正的,另外4个是有一个正方体立体角(即从一个顶点发出的3条棱互相正交)的直角四面体英语trirectangular tetrahedron

交錯2n邊形鑲嵌系列:
球面鑲嵌 多面體 歐式鑲嵌 緊湊雙曲鑲嵌 仿緊空間 非緊空間
n 1 2 3 4 5 6
2n邊形鑲嵌 {2,3} {4,3} {6,3} {8,3} {10,3} {12,3} {∞,3} {iπ/λ,3}
交錯2n邊形鑲嵌  
h{2,3}
     
 
h{4,3}
     
 
h{6,3}
     
 
h{8,3}
     
 
h{10,3}
     
 
h{12,3}
     
...  
h{∞,3}
     
 
h{iπ/λ,3}
     

事实上,我们至少需要5个四面体来堆积一个正方体。

利用内接于五复合立方体中立方体的正四面体,我们还可以构造出另外两个基于正四面体的正复合多面体—五复合正四面体(每个立方体只利用一个)和十复合正四面体(每个立方体利用两个)。考虑到五复合立方体中立方体都是内接与正十二面体的,这两种复合多面体中的正四面体实际上是正十二面体内接的正四面体。事实上,正十二面体的对偶——正二十面体可以被看作是半正的扭棱正四面体,拥有正四面体部分对称性。
正四面体是不能独立密铺三维欧氏空间的,尽管它看上去可能以至于亚里士多德声称它的确是可能的。但是,我们可以将一个正四面体面对面粘到正八面体上得到一个能独立密铺空间的菱面体,或者我们可以直接利用正四面体和正八面体两种多面体去完成一个半正堆砌,即正四面体—正八面体堆砌英语demcubic honeycomb。但是,一些非正的四面体却可以胜任,比如複鍥形體堆砌英语Disphenoid tetrahedral honeycomb,完整的列表还有待研究。如果我们不要求参与堆砌的正四面体都是全等的话,可能性会更丰富一些。比如说。我们可以将正八面体沿一条对角线劈开分成4个全等的锲形体,然后再拿两个正的与它们堆砌。(事实上这样做后锲形体与正四面体体积相等)。
正四面体是柏拉图立体中唯一一个不存在互相平行的面的。

相关多面体编辑

正四面体是特殊的棱锥,所以它与其它棱锥相关联:

棱锥体
正二棱錐 正三棱錐 正四棱錐 正五棱錐 正六棱錐 正七棱錐 正八棱錐 正九棱錐 正十棱錐 ... 圆锥
                   


錐體形式鑲嵌系列:
球面鑲嵌 錐體 歐式鑲嵌
仿緊空間
雙曲鑲嵌
非緊空間
 
一角錐
C1v, [1]
 
二角錐
C2v, [2]
 
三角錐
C3v, [3]
 
四角錐
C4v, [4]
 
五角錐
C5v, [5]
 
六角錐
C6v, [6]
 
七角錐
C7v, [7]
 
八角錐
C8v, [8]
 
九角錐
C9v, [9]
 
十角錐
C10v, [10]
...


 
無限角錐
C∞v, [∞]
 
超無限角錐
Ciπ/λv, [iπ/λ]

正四面体属于正四面体家族(该家族都具有相同的或更高的对称性)。这些与正四面体相关的半正多面体都是通过3种不同的截形操作(截顶、截棱、截半)和交错,及其组合构造出来的,其中截半正四面体(正八面体)和全截正四面体(截顶正八面体)拥有更高的正八面体对称性,而扭棱正四面体(正二十面体)拥有更高的正二十面体对称性。正四面体的二次截半将其面截成了顶点,使其成为与原来对偶的正四面体。

正四面体家族半正多面体
对称性: [3,3], (*332) [3,3]+, (332)
                                               
               
{3,3} t0,1{3,3} t1{3,3} t1,2{3,3} t2{3,3} t0,2{3,3} t0,1,2{3,3} s{3,3}
半正多面体对偶
                                               
               
V3.3.3 V3.6.6 V3.3.3.3 V3.6.6 V3.3.3 V3.4.3.4 V4.6.6 V3.3.3.3.3

正四面体在拓扑上关联与一组一直延伸到双曲镶嵌的正三角形镶嵌{3,n}。

多面体 欧式镶嵌 双曲镶嵌
 
{3,2}
 
{3,3}
 
{3,4}
 
{3,5}
 
{3,6}
 
{3,7}
 
{3,8}
 
{3,9}
...  
{3,∞)

正四面体在拓扑上关联与一组一直延伸到双曲镶嵌的三阶正镶嵌{3,n}。

多面体 欧式镶嵌 双曲镶嵌
 
{2,3}
     
 
{3,3}
     
 
{4,3}
     
 
{5,3}
     
 
{6,3}
     
 
{7,3}
     
 
{8,3}
     
...  
{∞,3}
     

与正四面体有关的复合正多面体


其中五复合四面体是个有手征性的复合多面体(在折纸艺术中,该复合多面体经常出现)。五复合和十复合四面体都是内接于正十二面体的。

類別 正多面體 卡塔蘭立體
種子  
{3,3}
 
{4,3}
 
{3,4}
 
{5,3}
 
{3,5}
 
aC
 
aD
倒角  
cT
 
cC
 
cO英语Chamfered octahedron
 
cD
 
cI
 
caC
 
caD

外部链接编辑