正定矩阵

线性代数裡,正定矩阵(英語:positive-definite matrix)是埃尔米特矩阵的一种,有时会简称为正定阵。在线性代数中,正定矩阵的性质類似复数中的实数。与正定矩阵相对应的线性算子对称正定双线性形式(複域中则对应埃尔米特正定双线性形式)。

线性代数

向量 · 向量空间  · 行列式  · 矩阵

定义编辑

一个   的实对称矩阵  正定的,当且仅当对于所有的非零实系数向量  ,都有  。其中  表示  转置。对于复数的情况,定义则为:一个  埃尔米特矩阵   是正定的若且唯若对于每个非零的複向量  ,都有  。其中  表示  共轭转置


這樣的定義仰賴一個事實:对于任意的埃爾米特矩陣   及複向量    必定是实数。

首先,因為   是埃爾米特矩陣,所以我們有  。接下來我們計算所求的共轭转置 。因為   是純量且其共軛複數等於自身,所以根據複數的性質,我們得出   是實數。

正定矩陣编辑

对於  埃尔米特矩阵  ,下列性质与「  为正定矩阵」等价:

  1.   的所有的特征值   都是正的。
    根据谱定理  与一个实对角矩阵   相似(也就是说  ,其中  酉矩阵,或者说   在某个正交基可以表示为一个实对角矩阵)。因此, 是正定阵当且仅当相应的   的对角线上元素都是正的。 另外,也可以假設     的一組特徵值與特徵向量,根據定義  ,從左側同乘以   得到: 。因為   是正定矩陣,根據定義我們有  。移項整理後可以得到  。注意因為特徵向量  ,所以前述   不會有無解的情形。
  2. 半双线性形式   定义了一个  上的内积。实际上,所有  上的内积都可視為由某个正定矩阵通过此种方式得到。
  3.   是向量   構成的格拉姆矩阵,其中  。更精确地说,  定义为: 。换句话说,  具有   的形式,其中   不一定是方阵,但必須是单射的。
  4.   的所有顺序主子式,也就是顺序主子阵行列式都是正的(西尔维斯特准则英语Sylvester's criterion)。明确地说,就是考察   左上角大小   的子矩阵的行列式。对于半正定矩阵而言,相应的条件应改为所有的主子式非负。但顺序主子式非负并不能推出矩阵是半正定的。比如以下例子:
     
  5. 存在唯一的下三角矩阵  ,其主对角线上的元素全是正的,使得  。其中   共轭转置。这一分解被称为科列斯基分解

对于实对称矩阵,只需将上述性质中的  改为  ,並将「共轭转置」改为「转置」即可。

二次型编辑

由以上的第二个等价条件,可以得到二次型形式下正定矩阵的等价条件:用   代表   ,设    上的一个向量空间。一个埃尔米特型

 

是一个双线性映射,使得   总是  共轭。这样的一个映射  正定的若且唯若對於   中所有的非零向量  ,都有  

负定、半定及不定矩阵编辑

与正定矩阵对应,一个   的埃尔米特矩阵  负定矩阵(英語:negative-definite matrix)若且唯若对所有非零向量  (或  ),都有  

 半正定矩阵(英語:positive semi-definite matrix)若且唯若對於所有非零向量  (或  ),都有  

 半负定矩阵(英語:negative semi-definite matrix)若且唯若對於所有非零向量  (或  ),都有  

如果一个埃尔米特矩阵既不是半正定也不是半负定的,那么称其为不定矩阵(英語:indefinite matrix)。

可以看出,上一节中正定矩陣的第一個等价性质只需作出相应改动,就可以变为判别负定矩阵、半正定矩阵和半负定矩阵的准则。注意当   是半正定时,相应的格拉姆矩阵不必由线性獨立的向量组成。对於任意矩阵   必是半正定的,并有  (两者的相等)。反过来,任意的半正定矩阵都可以写作  ,这就是科列斯基分解

对於任意矩阵  ,因為   ,因此   是埃爾米特矩陣。令  ,則  ,因此   是半正定的。另外,我們很容易證明    有相同的零空間,根據秩 – 零化度定理,我們可以得到它們有相同的秩。

一个埃尔米特矩阵   是负定矩阵若且唯若   的所有奇数阶顺序主子式小于  ,所有偶数阶顺序主子式大于  。当   是负定矩阵时,  的逆矩阵也是负定的。

相关性质编辑

  为半正定矩阵,可以記作  。如果 是正定矩阵,可以記作  。这个记法来自泛函分析,其中的正定矩阵定义了正算子。

对于一般的埃尔米特矩阵,    若且唯若  。这样可以定义一个在埃尔米特矩阵集合上的偏序关系。类似地,可以定义 

1. 每个正定阵都是可逆的,它的逆也是正定阵。如果   那么  
2. 如果   是正定阵,  为正实数,那么   也是正定阵。

如果    是正定阵,那么     都是正定的。如果  ,那么   仍是正定阵。

3. 如果   那么主对角线上的元素   为正实数。于是有  。此外还有
 
4. 矩阵   是正定阵若且唯若存在唯一的正定阵   使得  。根据其唯一性可以记作  ,称    的平方根。对半正定阵也有类似结论。同时,如果   那么  
5. 如果   那么  ,其中   表示克羅內克積
6. 对矩阵  ,将两者同一位置上的系数相乘所得的矩阵记为  ,即  ,称为  阿达马乘积。如果  ,那么  。如果  实係数矩阵,则以下不等式成立:

 

7.    为埃尔米特矩阵。如果  (相應地, ),那么  (相應地, )。
8. 如果   为实系数矩阵,则  
9. 如果   为实系数矩阵,那么存在   使得  ,其中  单位矩阵

非埃尔米特矩阵的情况编辑

一个实矩阵   可能满足對於所有的非零实向量   ,卻不是对称矩阵。举例来说,矩阵

 就满足这个条件。对於   并且   


一般来说,一个实系数矩阵   满足对所有非零实向量   ,若且唯若对称矩阵   是正定矩阵。

对于复系数矩阵,情况可能會不太一样。主要考慮如何扩展   这一性质。要使得   总为实数,矩阵   必须是埃尔米特矩阵。因此,若   总是正实数,  必然是正定的埃尔米特矩阵。如果将   扩展为  ,则等价于   为正定矩阵。

参见编辑

参考资料编辑

  • Roger A. Horn and Charles R. Johnson. Matrix Analysis, Chapter 7. Cambridge University Press, 1985. ISBN 0-521-30586-1 (hardback), ISBN 0-521-38632-2 (paperback).
  • Rajendra Bhatia. Positive definite matrices,. Princeton Series in Applied Mathematics, 2007. ISBN 978-0691129181.

外部链接编辑