打开主菜单

正定矩阵

(重定向自正定矩陣

线性代数裡,正定矩阵埃尔米特矩阵的一种,有时会简称为正定阵。在线性代数中,正定矩阵的性质類似复数中的实数。与正定矩阵相对应的线性算子对称正定双线性形式(複域中则对应埃尔米特正定双线性形式)。

线性代数

向量 · 向量空间  · 行列式  · 矩阵

定义编辑

一个n×n的实对称矩阵 正定的,当且仅当对于所有的非零实系数向量z,都有zT z > 0。其中zT表示z转置

对于复数的情况,定义则为:一个n×n埃尔米特矩阵(或厄米矩阵) 是正定的当且仅当对于每个非零的複向量z,都有z* z > 0。其中z*表示z共轭转置。由于 埃尔米特矩阵,经计算可知,对于任意的複向量zz* z必然是实数,从而可以与0比较大小。因此这个定义是自洽的。

判别正定阵编辑

n×n埃尔米特矩阵 ,下列性质与“ 为正定矩阵”等价:

1. 矩阵 的所有的特征值 都是正的。根据谱定理 必然与一个实对角矩阵D相似(也就是说 ,其中P幺正矩阵,或者说 在某
正交基可以表示为一个实对角矩阵)。因此, 是正定阵当且仅当相应的D的对角线上元素都是正的。
2. 半双线性形式
 

定义了一个Cn上的内积。实际上,所有Cn上的内积都可看做由某个正定阵通过此种方式得到。

3.  n个线性无关的k维向量 Gram矩阵,其中的k为某个正整数。更精确地说, 定义为:
 

换句话说, 具有 的形式,其中A不一定是方阵,但需要是单射的。

4.  的所有顺序主子式,也就是顺序主子阵行列式都是正的(西尔维斯特准则英语Sylvester's criterion)。明确来说,就是考察下列矩阵的行列式:
  •  左上角1×1的矩阵
  •  左上角2×2矩阵
  • ...
  •  自身。

对于半正定矩阵来说,相应的条件应改为所有的主子式非负。顺序主子式非负并不能推出矩阵是半正定的。比如以下例子:

 
5. 存在唯一的下三角矩阵 ,其主对角线上的元素全是正的,使得:
 .

其中  共轭转置。 T这一分解被称为Cholesky分解

对于实对称矩阵,只需将上述性质中的 改为 ,将“共轭转置”改为“转置”就可以了。

二次型编辑

由以上的第二个等价条件,可以得到二次型形式下正定矩阵的等价条件:用 代表  ,设  上的一个向量空间。一个埃尔米特型

 

是一个双线性映射,使得Bx, y)总是By, x)的共轭。这样的一个映射B正定的当且仅当对 中所有的非零向量x,都有B(x, x) > 0。

负定、半定及不定矩阵编辑

与正定矩阵相对应的,一个n×n的埃尔米特矩阵 负定矩阵(英語:negative definite matrix)当且仅当对所有不为零的 (或 ),都有:

 

 半正定矩阵(英語:positive semi-definite matrix)当且仅当对所有不为零的 (或 ),都有:

 

 半负定矩阵(英語:negative semi-definite matrix)当且仅当对所有不为零的 (或 ),都有:

 

如果一个埃尔米特矩阵既不是半正定也不是半负定的,那么称其为不定矩阵(英語:indefinite matrix)。

可以看出,上一节中正定阵的等价性质1只需略作相应改动,就可以变为判别负定矩阵、半正定矩阵和半负定矩阵的准则。注意当M是半正定时,相应的Gram矩阵不必由线性无关的向量组成。对任意矩阵 A*A必然是半正定的,并有rank( ) = rank(A*A,两者的相等)。反过来,任意的半正定矩阵都可以写作M = A*A,这就是Cholesky分解

一个埃尔米特矩阵M是负定矩阵当且仅当M的所有奇数阶顺序主子式小于0,所有偶数阶顺序主子式大于0。当M是负定矩阵时,M的逆矩阵也是负定的。

相关性质编辑

 为半正定阵,可以写作 。如果 是正定阵,可以写作 。这个记法来自泛函分析,其中的正定阵定义了正算子

对于一般的埃尔米特矩阵,   当且仅当 。这样可以定义一个在埃尔米特矩阵集合上的偏序关系。类似地,可以定义 

1. 每个正定阵都是可逆的,它的逆也是正定阵。如果 那么 
2. 如果 是正定阵, 为正实数,那么 也是正定阵。

如果  是正定阵,那么和 、乘积  都是正定的。如果 ,那么 仍是正定阵。

3. 如果 那么主对角线上的系数 为正实数。于是有 。此外还有
 
4. 矩阵 是正定阵当且仅当存在唯一的正定阵 使得 。根据其唯一性可以记作 ,称  的平方根。对半正定阵也有类似结论。同时,如果 那么 .
5. 如果 那么 ,其中 表示克罗内克乘积
6. 对矩阵 ,将两者同一位置上的系数相乘所得的矩阵记为 ,即 ,称为  阿达马乘积。如果 ,那么 。如果 实系数矩阵,则有如下不等式成立:

 

7.   为埃尔米特矩阵。如果  ),那么  )。
8. 如果 为实系数矩阵,则 
9. 如果 为实系数矩阵,那么存在 使得 ,其中 单位矩阵

非埃尔米特矩阵的情况编辑

一个实矩阵M可能满足对所有的非零实向量xxTMx > 0而并不是对称矩阵。举例来说,矩阵

 

就满足这个条件。对 并且 

 

一般来说,一个实系数矩阵M满足对所有非零实向量x,有xTMx > 0,当且仅当对称矩阵 (M + MT) / 2是正定矩阵。

对于复系数矩阵,情况可能不太一样。主要看的是怎样扩展z*Mz > 0这一性质。要使z*Mz总为实数,矩阵M必须是埃尔米特矩阵。因此,若z*Mz总是正实数,M必然是正定的埃尔米特矩阵。如果将z*Mz > 0扩展为Re(z*Mz) > 0,则等价于(M+M*) / 2为正定阵。

参见编辑

参考来源编辑

  • Rajendra Bhatia. Positive definite matrices,. Princeton Series in Applied Mathematics, 2007. ISBN 978-0691129181.