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正弦

數學專用名詞
(重定向自正弦函数
正弦
Sin.svg
性質
奇偶性
定義域 (-∞,∞)
到達域 [-1,1]
周期
特定值
當x=0 0
當x=+∞ N/A
當x=-∞ N/A
最大值 ((2k+½)π,1)
最小值 ((2k-½)π,-1)
其他性質
渐近线 N/A
臨界點 kπ-π/2
拐點
不動點 0
k是一個整數

數學中,正弦(英語:sine、縮寫)是一種週期函數,是三角函数的一種。它的定义域是整个实数集值域。它是周期函数,其最小正周期为。在自变量为整数)时,该函数有极大值1;在自变量为时,该函数有极小值-1。正弦函数是奇函数,其图像于原点对称。

符号史编辑

正弦的符号为 ,取自拉丁文sinus。该符号最早由瑞士数学家欧拉所使用。

定义编辑

直角三角形中编辑

 
直角三角形, 為直角, 的角度為 , 對於 而言,a為對邊、b為鄰邊、c為斜邊

直角三角形中,一个锐角 正弦定义为它的对边与斜边的比值,也就是:

 

其定義與餘割函數互為倒數

直角坐标系中编辑

 是平面直角坐标系xOy中的一个象限角 是角的终边上一点, 是P到原点O的距离,则 的正弦定义为:

 

单位圆定义编辑

图像中给出了用弧度度量的某个公共角。逆时针方向的度量是正角而顺时针的度量是负角。设一个过原点的线,同x轴正半部分得到一个角 ,并与单位圆相交。这个交点的y坐标等于 。在这个图形中的三角形确保了这个公式;半径等于斜边并有长度1,所以有了 。单位圆可以被认为是通过改变邻边和对边的长度并保持斜边等于1查看无限数目的三角形的一种方式。

对于大于 或小于 的角度,简单的继续绕单位圆旋转。在这种方式下,正弦变成了周期为2π的周期函数

 

对于任何角度 和任何整数 

級數定義编辑

 
正弦函数(蓝色)的七阶泰勒公式(粉色)在以原点为中心的一个周期内紧密地逼近原函数
 

微分方程定义编辑

由于正弦的导数是余弦,余弦的导数是负的正弦,因此正弦函数满足初值問題

 

这就是正弦的微分方程定义。

指数定义编辑

正弦函數的指數定義可由歐拉公式導出:

 

恒等式编辑

用其它三角函数来表示正弦编辑

函数 sin cos tan csc sec cot
             

两角和差公式编辑

 
 

二倍角公式编辑

 

三倍角公式编辑

 

半角公式编辑

 

和差化积公式编辑

 
 

万能公式编辑

 

含有正弦的积分编辑

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

特殊值编辑

徑度            
sin            
角度          
sin          

正弦定理编辑

正弦定理說明对于任意三角形,它的边是 ,   而相对这些边的角是 ,   ,有:

 

也表示为:

 

它可以通过把三角形分为两个直角三角形并使用正弦的上述定义证明。在这个定理中出现的公共数 是通过 ,   三点的圆的直径的倒数。正弦定理用于在一个三角形的两个角和一个边已知时计算未知边的长度。这是三角测量中常见情况。

参考文献编辑

外部链接编辑

參見编辑