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正弦定理三角学中的一个定理。它指出:对于任意分别为的对边,外接圆半径,则有

證明一编辑

做一个边长为   的三角形,对应角分别是   。从角  边做垂线,得到一个长度为h的垂线和两个直角三角形。

很明显:

 

 

因此:

 

 

同理:

 

证明二编辑

 的外接圆,设半径为  

角A为锐角时编辑

由于  所对的弧都为 ,根据圆周角定理可瞭解到

 

由于 为外接圆直径,

 

所以

 
 
 

角A为直角时编辑

因为 ,可以得到

 

所以可以证明

 

角A为钝角时编辑

线段 是圆的直径 根据圆内接四边形对角互补的性质

 

所以

 

因为 为外接圆的直径 。根据正弦定义

 

变形可得

 

根据以上的证明方法可以证明得到得到三角形的一条边与其对角的正弦值的比等于外接圆的直径,即

 

运用编辑

三面角正弦定理编辑

若三面角的三个面角分别为   ,它们所对的二面角分别为   ,则

 [1]

多边形的正弦关系编辑

 

 

 

 

外部链接编辑

參阅编辑