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正六面體
立方體
(按這裡觀看旋轉模型)
類別 正多面体
6
12
頂點 8
歐拉特徵數 F=6, E=12, V=8 (χ=2)
面的種類 正方形
面的佈局英语Face configuration 6{4}
頂點圖 4.4.4
施萊夫利符號 {4,3}
對稱群 3
參考索引 U06, C18, W3
對偶 正八面體
二面角 90°
特性 環帶多面體
Cube vertfig.png
4.4.4
頂點圖
Hexahedron flat color.svg
(展開圖)

幾何學中,立方體(Cube),是由6個正方形組成的正多面體,故又稱正六面體(Hexahedron)、正方體正立方體。它有12條稜(邊)和8個頂(點),是五個柏拉圖立體之一。

立方體是一種特殊的正四棱柱長方體三方偏方面體、菱形多面體、平行六面體,就如同正方形是特殊的矩形菱形平行四邊形一様。立方體具有正八面體對稱性英语Octahedral symmetry,即考克斯特BC3對稱性,施萊夫利符號{4,3},考克斯特-迪肯符號英语Coxeter-Dynkin digramCDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png,其對偶多面體正八面體

目录

性質编辑

面的組成:正方形
面的數目:6
邊的數目:12
頂點數目:8
表面積: 
體積: 
二面角角度: 
外接球半徑:  
內接球半徑: 
對偶多面體:正八面體
在所有表面积一定的长方体中,立方体的体积最大,同样,在所有线性大小(长宽高之和)一定的长方体中,立方体的体积也是最大的。反过来,体积相等的长方体中,立方体拥有最小表面积和线性大小。

體積與表面積编辑

  • 體積=長×寬×高=邊長3
  • 面積=每個面面積×6=邊長2×6

顶点坐标及表面方程编辑

在三维直角坐标系中,对于以原点为中心的、各棱平行于坐标轴的、棱长为2的立方体,其顶点坐标为
(±1, ±1, ±1)
的全排列。它包含了所有满足|x|≤1且|y|≤1且|z|≤1的点(x,y,z)。
在R3中,以点(x0,y0,z0)为中心的立方体表面是点(x,y,z)的运动轨迹,其中x,y,z满足:

 

几何性质编辑

立方体有11种不同的展开图,即是说,我们可以有11种不同的方法切开空心立方体的7条棱而将其展平为平面图形,见右图。

 
立方体的11种不同展开图

如果我们要将立方体涂色而使相邻的面不带有相同的颜色,则我们至少需要3种颜色(类似于四色问题)。
立方体是唯一能够独立密铺三维欧几里得空间柏拉图正多面体,因此立方体堆砌也是四维唯一的正堆砌(三维空间中的堆砌拓扑上等价于四维多胞体)。它又是柏拉图立体中唯一一个有偶数边面——正方形面的,因此,它是柏拉图立体中独一无二的环带多面体(它所有相对的面关于立方体中心中心对称)。
将立方体沿对角线切开,能得到6个全等的正4棱柱(但它不是半正的,底面棱长与侧棱长之比为2:√3)将其正方形面贴到原来的立方体上,能得到菱形十二面体(Rhombic Dodecahedron)(两两共面三角形合成一个菱形)。

正交投影编辑

我们可以从不同角度将立方体投影到二维平面上,这些投影都各自携带有立方体原本BC3对称性的一部分。

正交投影
正对于 正方形面 顶点
考克斯特群 B2
 
A2
 
投影
对称性
[4] [6]
倾斜视角    

半正对称性与表面涂色编辑

作为正多面体之一,立方体拥有较高的对称性,它的所有面在几何上都是相同的,不可区分的。可是我们也可以想象将立方体的面“涂上”不同的“颜色”,使它其的不同面拥有不同的“几何意义”,使立方体拥有不同的对称性。在立方体完全的对称性,即正八面体对称性Oh中,立方体的所有面都是相同的。二面体对称性D4h则将立方体描述得像一个正四棱柱,有两个颜色相同的上下底面,其余4个侧面颜色相同。立方体最低的对称性D2h也将立方体描述的像一个棱柱,不过是长方形棱柱,即一个长方体,它的相对的面颜色相同,而相邻的面是不同的。每一种半正对称性都有自己的施莱夫利符号考克斯特-迪肯符号英语Coxeter-Dynkin digramWythoff符号英语Wythoff symbol。此外,由于其对偶正八面体也可被看作是正三反棱柱,立方体也可被看作是正三反棱柱的对偶,即正三偏方面体

名称 正六面体 正四棱柱 长方体 正三偏方面体
考克斯特符号英语Coxeter-Dynkin diagram                        
施莱夫利符号 {4,3} {4}×{} {}×{}×{}
Wythoff符号英语Wythoff symbol 3 | 4 2 4 2 | 2 2 2 2 |
对称性英语List of spherical symmetry groups Oh
(*432)
D4h
(*422)
D2h
(*222)
D3d
(2*3)
对称群阶 24 16 8 12
图像
(半正表面涂色)
 
(111)
 
(112)
 
(123)
 
(111), (112), (122), 及(222)

相关多面体及鑲嵌编辑

  • 將立方體的其中四個頂點相連,而這四個頂點任何兩條都沒有落在立方體同一條的邊上,可得到一個正四面體,其邊長為立方體邊長的 ,其體積為立方體體積的 
 
正四面體外接正六面體

當正八面體在立方體之內:
正八面體體積 : 立方體體積
=[(1/3)×高×底面積]×2 : 邊3
=(1/3)(n/2)[(n2)/2]2 : n3
=1 : 6

  • 截半立方體:從一條棱斬去另一條棱的中點得出
  • 截角立方體
  • 超正方體:立方體在高維度的推廣。更加一般的,立方体是一个大家族,即立方形家族(又称超方形、正测形)的3维成员,它们都具有相似的性质(如二面角都是90°、有类似的超体积公式,即Vn-cube=an等)。
  • 長方體偏方面體的特例。

将立方体对映映射英语Antipodal point后的到的商形成的一个实射影多面体,即立方體半形(hemicube)(不应叫其“半立方体”,因为其易与‘demicube’混淆)。

 
Hemi-立方体是立方体2到1的商


正方体的对偶多面体正八面体,如果原正方体棱长为1,则对偶正八面体棱长为√2。
正方体是一种最特殊的四边形正六面体:

名称 棱长相等? 对角相等? 各角为直角?
立方体
菱面体
长方体
平行六面体
四边形正六面体

立方体的8个顶点可以被交错地分为两组,每一组都构成一个完整的正四面体,更严格地说,这是作为半(Demi-)立方体(demicube)的正四面体。这两个正四面体组合到一起,就构成了一个正的复合多面体——星形正八面体(Stella Octagula)。两个正四面体重合的地方构成凸的正八面体。这意味着,正四面体的对称群A3是正方体对称群的子群,对应着能将半立方体变换到自身的对称变换,立方体其余的对称变换能将两个半立方体变换到对方。一个这样的正四面体占据了立方体体积的1/3,立方体剩余的部分是4个全等的、顶角是立方体立体角的正三棱锥,各占立方体体积的1/6
从立方体各棱中点处切掉立方体的角,我们会发现原先立方体的正方形面变成了其对偶的正方形面,而切掉的顶点处出现了新的正三角形面,这样的操作叫“截半”(Rectification),得到的半正多面体截半立方体(Rectified Cube),又叫立方八面体(Cuboctahedron)。如果我们不在棱中点处截它,则这种操作叫“截角”(Truncation),正方形面变成了八边形。如果截的合适,则我们可将正方形截成正八边形,得到的半正多面体叫截顶立方体(Truncated Cube)。如果我们同时截掉立方体的棱和顶,则这种操作叫“截棱”(Centellation),如果截的恰当,得到的半正多面体是小斜方截半立方体(Rhombicuboctahedron)。

正十二面体有20个顶点,它们可以以不同组合分成由8个顶点组成的5组,这8个顶点两两相连,构成内接在正十二面体内部的立方体,它的棱都是正十二面体的各面的对角线。这五个立方体组合在一起,构成复合多面体——五复合立方体

 
正十二面体内部的五复合立方体


如果我们完全切掉立方体相对的两个顶点,我们会得到一个非正的八面体,将8个这样的八面体正三角形面对正三角形面贴到正八面体上,则我们得到截半立方体。
立方体与所有其它拥有BC3对称性的多面体(如正八面体和立方八面体)构成正八面体家族:

半正正八面体家族多面体
对称性: [4,3], (*432) [4,3]+, (432) [1+,4,3], (*332) [4,3+], (3*2)
                                                           
                   
{4,3} t0,1{4,3} t1{4,3} t1,2{4,3} {3,4} t0,2{4,3} t0,1,2{4,3} s{4,3} h{4,3} h1,2{4,3}
半正多面体的对偶
                                                           
                   
V4.4.4 V3.8.8 V3.4.3.4 V4.6.6 V3.3.3.3 V3.4.4.4 V4.6.8 V3.3.3.3.4 V3.3.3 V3.3.3.3.3

此外,立方体在拓扑上与其它3阶正镶嵌{n,3}相关:

多面体 欧式镶嵌 双曲镶嵌
 
{2,3}
     
 
{3,3}
     
 
{4,3}
     
 
{5,3}
     
 
{6,3}
     
 
{7,3}
     
 
{8,3}
     
...  
{∞,3}
     

立方体在拓扑上还和其它阶的正方形正镶嵌{4,n}(n≥3)有关:

多面体 欧式镶嵌 双曲镶嵌
 
{4,2}
     
 
{4,3}
     
 
{4,4}
     
 
{4,5}
     
 
{4,6}
     
 
{4,7}
     
 
{4,8}
     
...  
{4,∞}
     

立方体是正四棱柱:

正多邊形柱體系列
對稱群英语List of spherical symmetry groups 3 4 5 6 7 8 9 10英语Decagonal prism 11英语Hendecagonal prism 12英语Dodecagonal prism
[2n,2]
[n,2]
[2n,2+]
           
     
     
           
     
     
           
     
     
           
     
     
           
     
     
圖像    
 
 
   
 
 
   
 
 
       
球面多面體
圖像    
 
   
 
   
 
 
 
類別 正多面體 卡塔蘭立體
種子  
{3,3}
 
{4,3}
 
{3,4}
 
{5,3}
 
{3,5}
 
aC
 
aD
倒角  
cT
 
cC
 
cO英语Chamfered octahedron
 
cD
 
cI
 
caC
 
caD

應用编辑

 

數學問題编辑

 
由正方體展開圖可得知正方體表面積算法
 
正六邊形的切法:沿上底兩條鄰邊的中點,切至下底兩條鄰邊的中點

倍立方體問題编辑

參見尺規作圖,已經證明此題無法用無刻度的直尺與圓規去畫出 的位置

最大的橫切面编辑

立方體的橫切面只有四種:

其中以正六邊形的面積最大,若立方体的棱长为a,则正六边形的面积为 

參見编辑

外部連結编辑