正规序

量子场论中,一组創生及湮滅算符的乘积称為是按正规序排列的,如果所有的創生算符排列在所有的湮灭算符的左侧,相应的乘积称为正规乘积[1]。类似地可以定义反正规序,在反正规序中,所有产生算符排列在湮灭算符的右侧。

记号编辑

 為任意創生和湮灭算符之乘積,則我們將 按照正规序重新排列之后得到的算符用  或  表示。注意正規序只對算符乘積有意義,因為正規序不是線性關係,將正規序用在算符和並無太大作用。

玻色子编辑

玻色子符合玻色–爱因斯坦统计

单个玻色子编辑

单个玻色子有一个产生算符和一个湮灭算符:

  •  :玻色子的产生算符
  •  :玻色子的湮灭算符

则有:

 
 
 

其中   表示两个算符的对易子

例子编辑

1. 最简单的例子是   的正规序,根据正规序的定义,可见这里的算符已经按照正规序排列,所以 的正规序就是它自身:

 

2. 第二个例子是   的正规序,

 

这里,按照正规序的要求,产生算符   放到了湮灭算符  的左边。由玻色子算符的对易关系有:

 

维克定理中,两个产生或湮灭算符的乘积与它们的正规序之间的差,称为这两个算符的收缩。

3. 一个多算符的例子:

 

多个玻色子编辑

对于   个不同的玻色子来说,有   个算符:

  •  :第   个玻色子的产生算符
  •  :第   个玻色子的湮灭算符

其中  .

它们满足下列对易关系:

 
 
 

其中   克罗内克函数

例子编辑

1.对于两个玻色子 ( ) ,有:

 
 

2. 对三个玻色子 ( ) ,有:

 

由于   (参见对易关系),湮灭算符之间的顺序并不重要。

费米子编辑

费米子服从费米-狄拉克统计

单个费米子编辑

单个费米子有一个产生算符和一个湮灭算符:

  •  :费米子的产生算符
  •  :费米子的湮灭算符

它们满足下面的反对易关系:

 
 
 

其中   是反对易子。

与玻色子不同的是,对于费米子的正规序,每当重新排序引起两个算符的前后顺序发生变化时,需要额外引入一个负号。

例子编辑

1. 最简单的例子是:

 

由于算符已经按正规序排列,所以其正规序就是它本身。反过来,若是产生算符排列在后面,则如前文所说,其正规序需要引入一个负号,即:

 

由费米子算符的反对易关系有:

 

与玻色子的情形一样,上式用于定义维克定理里面的收缩。

2. 其它情形下的正规序都是零,因为此时同一个湮灭算符或产生算符至少连续出现了两次。根据费米子的性质,此时结果为零,例如:

 

多个费米子编辑

  个费米子有   个产生湮灭算符,设:

  •  为第   个费米子的产生算符
  •  为第  个费米子的湮灭算符

其中  .

它们满足下列反对易关系:

 
 
 

其中   克罗内克函数

例子编辑

1. 对两个费米子 ( ) ,有:

 

由于算符已经按正规序排列,所以其正规序就是它本身。

 

由于两个算符的顺序发生了交换,所以要引入一个负号。

 

与玻色子的情形不同,此时产生算符之间的顺序是有关系的。

2. 对三个费米子 ( ) ,有:

 

类似地有:

 
 

量子场论中的应用编辑

任意算符的正规序的真空期望值为零。这是因为对于真空态来说, 以及 都是0。

这里    分别是(玻色子或费米子的)产生和湮灭算符。将正规序的这一性质与维克定理结合起来,便能大大简化场算符的真空期望值的计算。

参考文献编辑

  1. ^ 尹道乐,尹澜. 2. 凝聚态量子理论. ISBN 9787301161609.