比值审敛法

比值审敛法(Ratio test)是判别级数敛散性的一种方法,又称为达朗贝尔判别法D'Alembert's test)。

无穷级数
无穷级数

定理编辑

 
比值审敛法判断流程表

 为一级数,如果

 

  • 当ρ<1时级数絕對收敛
  • 当ρ>1时级数发散
  • 当ρ=1时级数可能收敛也可能发散。

证明编辑

如果 ,那么存在一个实数 以及一个正整数 ,满足 ,使得当 时,总有 成立;因此在上述条件下,当 为正整数时有 ,于是根据无穷等比数列求和得出下式绝对收敛:

 

如果 ,那么同样存在一个正整数 ,使得当 时,总有 ,求和项的极限不为零,于是级数发散。

而当 时,以  为例,结果同样为 ,但前者发散而后者收敛(后者收敛值为 ),该例子可以用比较审敛法来审敛。

例子编辑

收敛编辑

考虑级数

 
 

因此该级数收敛。

发散编辑

考虑级数

 
  = 
= 
= 
= 
= 
= 

因此该级数发散。

不能确定编辑

级数

 

发散,但

 

而级数

 

收敛,但

 

参见编辑