泛包絡代數

數學中,我們可以構造任意李代數 泛包絡代數 。李代數一般並非結合代數,但泛包絡代數則是帶乘法單位元的結合代數。李代數的表示理論可以理解為其泛包絡代數的表示理論。在幾何上,泛包絡代數可以解釋為李群上的左不變微分算子。

泛性質编辑

以下固定  。首先注意到:對任意帶乘法單位元的  -結合代數  ,定義括積  ,可視   為李代數。

泛包絡代數係指帶單位元的結合代數   及一個指定的李代數同態  。這對資料由下述泛性質刻劃:

對任意帶乘法單位元的  -結合代數  , 若存在李代數同態

 

則存在唯一的代數同態

 

使之滿足

 

換言之,函子   滿足下述關係:

 
 

藉此,可視   (單位結合代數) (李代數)的左伴隨函子

構造方式编辑

首先考慮張量代數  ,此時有自然的包含映射  。取   為下列元素生成的雙邊理想

 

定義

 

所求的映射    與商映射的合成。容易驗證   保存李括積。

根據上述構造,可直接驗證所求的泛性質。

基本性質编辑

  •   可交換,則   亦然;此時   同構於多項式代數。
  •   來自李群  ,則   可理解為   上的左不變微分算子。
  •   的中心   顯然包含  ,但不僅如此,通常還包括更高階的元素,例如喀希米爾元素;這種元素給出李群上的拉普拉斯算子

庞加莱-伯克霍夫-维特定理编辑

庞加莱-伯克霍夫-维特定理是泛包絡代數的根本定理之一。取定有限維李代數   的基  ,此定理斷言

 

  的基。此定理的直接推論是:  為單射。

表示理論编辑

在泛性質中取  ,其中   為任意向量空間,遂可等同   的表示與   的表示,後者不外是  -。藉此觀點,李代數表示理論可視為模論的一支。

群代數之於群表示一如泛包絡代數之於李代數的表示。兩者都具有霍普夫代數結構。

文獻编辑

  • Dixmier, Jacques, Enveloping algebras. Revised reprint of the 1977 translation. Graduate Studies in Mathematics, 11. American Mathematical Society, Providence, RI, 1996. xx+379 pp. ISBN 0-8218-0560-6