波前集

在数学分析中,特别是微局部分析中,一个分布 的波前集 奇异支集 的基础上进一步刻画了 的奇异性。作为底空间余切丛的一个锥子集,一个分布的波前集不仅描述了这个分布的奇异点,并且同时描述了在每一点这个分布奇异的方向。“波前集”这个术语是由 拉尔斯·霍尔曼德尔在1970年左右引入的。实解析版本的波前集,定义在超函数上,称为“奇异支集”或“奇异谱”,稍早由佐藤干夫引入。

定义编辑

在欧式空间的一个区域   中,一个分布   在一个点   处的奇异纤维  ,作为  的一个子集, 是在这一点所有奇异方向的余集。严格的定义用到傅里叶变换,  不属于   当且仅当存在紧支集光滑函数   以及   的一个锥邻域(在正实数乘法下不变)   使得  ,并且在   中有如下估计:对于任意正整数  ,存在正常数   使得

 

(我们经常将这个估计写为 。)

  的波前集   定义为

 

由下面波前集在坐标变化下的性质,可以定义光滑流形   上的分布   的波前集   为余切丛去掉零截面   的一个锥子集。

如果  有Schwarz核  ,定义

 

对于拟微分算子  , 可以验证   包含于   的对角线  中。并且如果我们定义   如下:  当且仅当在 的一个锥邻域中,  的象征满足估计

 

那么我们有   当且仅当  

等价定义编辑

Hormander最早的定义用到了拟微分算子在分布上的作用:  是所有满足如下性质的点    中的补集: 存在   的锥邻域   使得对于任意的满足   的拟微分算子  , 有  

另一个有用的等价定义用到FBI变换。

性质编辑

(1) 如果记   为余切丛上自然投影,则  

(2) 对于拟微分算子   。特别的,我们有对于任意的光滑系数微分算子  

(3) 如果   是一个光滑映射,记    的法丛。如果  满足  ,那么我们可以“唯一的”定义    下的拉回  。并且我们有  。 特别的,如果   是一个微分同胚, 。所以波前集定义在余切丛上是不取决于坐标的。

(4)令   如果将   视作从    的一个关系,并且记  。这里  分别是  上余切丛的零截面。则如果  满足  ,那么我们可以“唯一的”定义 。并且我们有  

(5)如果    满足  ,那么我们可以“唯一的”定义复合算子  。并且我们有

 

这里最后一项是将波前集视为关系下的复合。

例子编辑

 函数编辑

振荡积分编辑

余法分布编辑

拉格朗日分布编辑

应用编辑

分布的运算编辑

拟微分算子与微局部化编辑

奇异性的传播编辑

推广编辑

以上所定义的波前集描述的是分布的关于   正则性的奇异性,类似的可以定义关于实解析性的波前集  ,关于Gevery类   的波前集,关于Sobolev空间   的波前集等等。在使用FBI变换的定义中,这些波前集有一个很好的统一的描述。

参考来源编辑

  • Lars Hörmander, Fourier integral operators I, Acta Math. 127 (1971), pp. 79-183.
  • Hörmander, Lars, The Analysis of Linear Partial Differential Equations I: Distribution Theory and Fourier Analysis, Grundlehren der mathematischen Wissenschaften 256 2nd, Springer: 251–279, 1990, ISBN 0-387-52345-6  Chapter VIII, Spectral Analysis of Singularities