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波爾查諾-魏爾斯特拉斯定理

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波爾查諾-魏爾施特拉斯定理英语:Bolzano–Weierstrass theorem)是数学中,尤其是拓扑学實分析中,用以刻劃 中的緊集的基本定理,得名於數學家伯納德·波爾查諾卡爾·魏爾施特拉斯。波尔查诺-魏尔斯特拉斯定理说明,有限维向量空间中的一個子集序列緊緻(每個序列都有收斂子序列)当且仅当有界閉集

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历史编辑

这个定理最早由伯纳德·波尔查诺证明,當他在證明介值定理時,附帶證明了這個定理,但是他的证明已经散佚。卡尔·魏尔施特拉斯独自发现并证明了这个定理。波尔查诺-魏尔施特拉斯定理是实分析中的基本定理。

基础概念编辑

  • 子列:也称为子序列。一个序列 的一个子列是指在 中抽取无穷多个元素,然后按照它们在原来序列里的顺序排列起来的序列。严格的定义是:如果存在一个从  的严格单调递增的映射 ,使得 ,就称  的一个子列。
  • 有界闭集: 中的有界闭集概念建立在给定的拓扑度量上的。由于在有限维向量空间中所有度量等价,所以可以将 视为装备了欧几里德度量度量空间(并且可以定义相应的范数)。 的子集 有界,当且仅当所有 中元素 范数小于一个给定常数 。注意这时对应的拓扑是欧几里德范数诱导的自然拓扑。
  • 序列紧致:称一个集合 是序列紧致的,是指每个由集合 中元素所组成的数列都包含收敛的子列,并且该子列收敛到集合 中的某个元素。

定理编辑

波尔查诺-魏尔斯特拉斯定理可以视为刻画有限维向量空间 中序列紧致集合的定理。波尔查诺-魏尔斯特拉斯定理的核心部分可以仅仅使用序列的语言来表示:

定理 1

任一 中的有界序列 都至少包含一个收敛的子列。[1]:56

从这个定理出发,在给定的有界闭集 中任取一个序列,那么这个序列是有界的,从而至少包含一个收敛的子列。而从 的封闭性可知,这个子列作为 的一部分,其收敛的极限必然也在 中。所以可以推知:

推论

任一 中的有界闭集必然序列紧致。[1]:163

这个推论给出了 中集合序列紧致的充分条件。另一方面,可以证明序列紧致的集合必然是有界闭集。这样就将充分条件推进为充要条件:

定理 2

 中的一个子集 是序列紧致的,当且仅当 是有界闭集。[1]:163

由于有限维赋范向量空间都与装备了欧几里德范数的 同胚,所以以上的定理都可以扩展到任意有限维赋范向量空间。[2]:132

证明编辑

证明的关键是定理的核心部分,也就是定理1:任一 中的有界序列 都至少包含一个收敛的子列。

引理

任何实数列必然包含单调的子列。[1]:55

引理的证明[1]:55-56

设有实数列 ,定义集合: 。集合中的每个元素,都比序列中排在其后的所有元素都大。

  • 如果 中有无限个元素,在其中取下标递增的一个数列,那么这个数列是 的子列,并且单调递减,构造完毕。
  • 如果 中元素个数有限,那么设  中元素的下标中最大的一个。对任意 ,考虑  不在集合 中,所以 之后至少会有一个元素大于 。换句话说,序列 里面排在 後面的任一元素,它後面都必然还有一个比它大的元素。于是取  为第一个大于 的元素的下标, 为第一个大于 的元素的下标,依此类推,就可以得到 的一个单调递增的子列。

综上可得,任何实数列必然包含单调的子列。

定理的证明[1]:447

先考虑一维(也就是 )的情况。给定有界的实数列 ,取它的一个单调子列。不妨设这个子列单调递增,由于数列有上界,依据数列的单调收敛定理,这个子列必然收敛。

对于高维( )的情况,证明的思路是取多次子列。

 为一个有界序列,则 个实数列 都是有界数列。于是存在 的子列 使得 收敛。但是 仍是有界数列,因而存在子列 使得 也收敛(注意这里 必然是收敛的)。在进行类似的 次操作后,我们就可以得到一个子列,使得 都收敛,也就是说存在子列 收敛。证毕。

波尔查诺-魏尔斯特拉斯性质编辑

在有限维度量空间中,波尔查诺-魏尔斯特拉斯说明了序列紧致的集合就是有界闭集。然而在一般的度量空间中,有界闭集不一定是序列紧致的。为此,拓扑学中将一般度量空间中的序列紧致称为波尔查诺-魏尔斯特拉斯性质。

定义

 为度量空间 的子集。若 中任一序列 都包含一个收敛的子列,其极限也是 中元素,就称 具有波尔查诺-魏尔斯特拉斯性质。[1]:598

如果度量空间本身满足波尔查诺-魏尔斯特拉斯性质,就称这个度量空间为紧空间。在度量空间中,波尔查诺-魏尔斯特拉斯性质等价于海恩-波莱尔性质:所有 开覆盖有限子覆盖[1]:602

参考来源编辑

  1. ^ 1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 Brian S. Thomson, Judith B. Bruckner, Andrew M. Bruckner. Elementary Real Analysis. CreateSpace. 2008. ISBN 9781434843678 (英语). 
  2. ^ Mustafa A. Akcoglu, Paul F.A. Bartha, Dzung Minh Ha. Analysis in Vector Spaces. John Wiley & Sons. 2011. ISBN 9781118164594. 
  • Fitzpatrick, Patrick M. (2006) Advanced Calculus (2nd ed.). Belmont, CA: Thompson Brooks/Cole. ISBN 0-534-37603-7.

外部連結编辑