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波莱尔-坎泰利引理

波莱尔-坎泰利引理概率论中的一个基本结论。大致上,波莱尔-坎泰利引理说明了,如果有无穷概率事件,它们发生的概率之和是有限的,那么其中的无限多个事件一同发生的概率是零。这个定理实际上是测度论的结论在概率论中的应用,得名于数学家埃米尔·波莱尔弗朗西斯科·保罗·坎泰利

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概率空间中的定理编辑

 为某个概率空间中的一个事件序列。波莱尔-坎泰利引理说明: 如果所有的事件 发生的概率 的总和是有限的,

 

那么它们之中有无限多个同时发生的概率等于零:

 

其中的 是指一个事件序列的上极限。由于每一个事件都是若干个可能结果的集合,所以 就是指使得序列 里面有无限多个事件一起发生的結果(outcome,或稱樣本輸出 的集合。准确来说,

 

证明编辑

设(En)是某个概率空间里的一系列事件。假设这些事件发生的概率之和是有限的:

 

这等价于说,正项无穷级数 收敛。所以,根据无穷级数的性质,级数的余项 的下极限是0:

 

因此,

 [1]

推广编辑

对于更一般的概率空间,波莱尔-坎泰利引理可以叙述如下:

设μ是一个集合X上的测度,装备了σ-代数F。设(An)为F中的一个序列。如果:
 
那么,
 

参考来源编辑

  • Prokhorov, A.V., Borel–Cantelli lemma, (编) Hazewinkel, Michiel, 数学百科全书, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4 
  • Feller William, An Introduction to Probability Theory and Its Application, John Wiley & Sons, 1961 .
  • Stein Elias, Harmonic analysis: Real-variable methods, orthogonality, and oscillatory integrals, Princeton University Press, 1993 .
  • Bruss, F. Thomas, A counterpart of the Borel Cantelli Lemma, J. Appl. Prob., 1980, 17: 1094–1101 .
  • Durrett, Rick. "Probability: Theory and Examples." Duxbury advanced series, Third Edition, Thomson Brooks/Cole, 2005.