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希羅公式Heron's formulaHero's formula),又譯希罗公式[1]希伦公式海龍公式,亦称“海伦-秦九韶公式”。此公式是亞歷山大港的希羅發現的,並可在其於公元60年的《Metrica》中找到其證明,利用三角形的三條邊長來求取三角形面積。亦有認為早於阿基米德已經懂得這條公式,而由於《Metrica》是一部古代數學知識的結集,该公式的發現時期很有可能先於希羅的著作。[2]

假設有一個三角形,邊長分別為,三角形的面積可由以下公式求得:

,其中

中国南宋末年数学家秦九韶发现或知道等价的公式,其著作《数书九章》卷五第二题即三斜求积。“问沙田一段,有三斜,其小斜一十三里,中斜一十四里,大斜一十五里,里法三百步,欲知为田几何?”答曰:“三百十五顷.”其术文是:“以小斜幂併大斜幂,減中斜幂,餘半之,自乘於上;以小斜幂乘大斜幂,減上,餘四約之爲實,……開平方得積。”若以大斜记为,中斜记为,小斜记为,秦九韶的方法相当于下面的一般公式:

,其中

像其他中国古代的数学家一样,他的方法没有证明。根据现代数学家吴文俊的研究,秦九韶公式可由出入相补原理得出。一些中国学者将这个公式称为秦九韶公式

由于任何边的多边形都可以分割成个三角形,所以海伦公式可以用作求多边形面積的公式。比如说测量土地的面积的时候,不用测三角形的高,只需测两点间的距离,就可以方便地导出答案。

目录

证明编辑

利用三角公式和代数式变形来证明编辑

与希羅在他的著作《Metrica》中的原始证明不同,在此我们用三角公式和公式变形来证明。设三角形的三边 的对角分别为 ,则余弦定理

 

利用和平方差平方平方差等公式,从而有

 
 

利用勾股定理和代数式变形来证明编辑

 
 
 
 
 
 

用旁心來證明编辑

 中, 

 為內心, 為三旁切圓。

 

 四點共圓,並設此圓為圓 

  1.  做鉛直線交  ,再延長 ,使之與圓 交於 點。再過 做鉛直線交  點。
  2. 先證明 為矩形: ,又 (圓周角相等)。 為矩形。因此, 
  3.  內切圓半徑  旁切圓半徑 。且易知 。由圓冪性質得到: 。故  

資料來源编辑

參見编辑

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