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海森伯群

數學裡,海森堡群是以维尔纳·海森堡來命名的,為如下之三階上三角矩陣所組成的

元素abc可以取成某種交換環,一般會取成實數環或整數環。

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例子编辑

連續海森堡群编辑

abc實數,則可得到一個連續海森堡群 H3(R)。其為一個幂零李群

離散海森堡群编辑

abc為整數,則可得到一個離散海森堡群 H3(Z)。其為一個非阿貝爾冪零群,有兩個生成元

 

并满足关系

 

其中,

 

為 H3 中心之生成元。(x-1,y-1和z-1即分别将x,y和z主对角线上的1改为-1)

貝斯定理所述,其有一個4目的多項式增長率

模p海森堡群编辑

若取abcZ/pZ內,則可得到一個p 海森堡群。其為p3目的,其中有兩個生成元xy,满足关系

 

一般海森堡群编辑

更一般性地,海森堡群可以由任何一個辛向量空間來建造。例如,令(V,ω)為一個有限維實辛向量空間(故ω為於V上之非退化反對稱雙線性形)。在(V,ω)(或簡稱V)上的海森堡群H(V)是一個附有群定律

 

的集合。

海森堡群是加法群V中心擴張。因此,會有一個正合序列

 

每一個辛向量空間都會允許有一個滿足ω(ej,fk) = δjk達布基{ej,fk}1 ≤ j,kn。以此一基來敘述,每個向量都可以分解成

 

其中的qapa正則坐標

若{ej,fk}1 ≤ j,knV的一個達布基,然後令{ER的一個基,則{ej,fk, E}1 ≤ j,kn會是V×R的一個對應的基。一個在H(V)內的向量

 

可以等同於下列矩陣

 

因此便給出了一個H(V)的真實矩陣表示

和外爾代數的關連编辑

量子力學的外爾觀點编辑

視為一子黎曼流形编辑

另見编辑

參考编辑

  • Richard Montgomery, A Tour of Subriemannian Geometries, Their Geodesics and Applications (Mathematical Surveys and Monographs, Volume 91), (2002) American Mathematical Society, ISBN 0-8218-1391-9.