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消失動量(Vanishing Moments),在連續小波變換(Continuous Wavelet Transform),是一項非常重要的參數,用來檢視母小波(Mother wavelet)是否為高頻的函數。

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由來编辑

在連續小波變換中,母小波有4個主要限制如下。

1. 有值區間必須是有限的(Compact Support):

母小波不能是一個無限長的函數。

2. 必須是實函數(Real) :

因為要處理的影像不會是複數信號,且為了方便計算。

3. 偶對稱(Even Symmetric)或是奇對稱(Odd Symmetric)

4. 消失動量越高越好:

這項是最難滿足的一項。

定義编辑

首先定義第   個動量(   moment):

 

 

則我們說    個消失動量。

如何計算消失動量编辑

我們可以看到   不太好計算,尤其是   很大的時候。

此時,可以善用傅立葉轉換來進行計算。

計算第0個動量编辑

首先,觀察傅立葉轉換的公式:

 

當令 時,可以看到以上公式變成:

 

正是第0個動量  

因此,若要計算   的第0個動量,可以先計算   的傅立葉轉換,再取直流項(也就是   )。

計算第k個動量编辑

我們可以同樣利用傅立葉轉換來計算第   個動量。

首先,傅立葉轉換有一個性質: 在頻域微分   次,就相當於時域乘上   :

 

當令 時,可以看到以上公式變成:

 

正是第   個動量  

因此,若要計算   的第k個動量,可以先計算   的傅立葉轉換的k次微分,再取直流項(也就是   )。

一些常用函數的消失動量编辑

連續函數编辑

哈爾小波轉換是最簡單的一種小波轉換,使用哈爾基底(Haar Basis)來做母小波。

而墨西哥帽函數(Mexican hat function)也常被用來當母小波。

哈爾基底编辑

哈爾基底的數學表示式如下:

 

  是一個奇函數,所以

 

  是偶函數,所以

 

因此,哈爾基底消失動量為1

墨西哥帽函數编辑

墨西哥帽函數的數學表示式:

 

仔細觀察,  其實是高斯函數的二次微分:

  常數。 

而高斯函數做傅立葉轉換仍是高斯函數:

 

利用

 

可以算出

 

所以墨西哥帽函數消失動量為2

高斯函數的p次微分编辑

墨西哥帽函數是高斯函數的二次微分,所以消失動量為2。

 

其傅立葉轉換為

 

利用

 

可以算出

 

所以高斯函數p次微分消失動量為p


連續函數的離散係數编辑

多貝西小波(Daubechies wavelet)、Symlet 都是一些常用的離散小波,而且都是由連續小波的離散係數推導而來。

多貝西小波编辑

  點的多貝西小波,消失動量  

Symlet编辑

  點的Symlet,消失動量  

Symlet和多貝西小波非常類似,但是比多貝西小波還要對稱。

消失動量對於函數的意義编辑

消失動量是用以判斷一個函數如何遞減的指標。舉例來說,對於函數

 

當輸入值 逐漸往無限大增加時,此函數會以 的速率遞減。 我們可用利用定義中的動量積分式 來評估此函數的遞減速率。

回到此範例中的函數,當 時,由於分子 會在 之間震盪,使得整個函數在 震盪。

此性質使得 時,

  

函數積分式必定會收斂於0,代表第0個動量 

 時,

 

因此第1個動量 

對於 的情況,動量積分式均會隨著 而發散。

由以上的範例,我們可藉由能夠讓動量積分式收斂為0的最大 值來判斷函數的遞減速率,而此最大 值便是函數的消失動量。

在連續小波轉換中,設計母小波的其中一個條件是有值區間比須是有限的,而母小波在有值區間內如何遞減的特性,則可由消失動量來描述。

消失動量的等價敘述编辑

依照定義,小波母函數   個消失動量的條件為

 

然而由於此定義中包含了一個無限範圍的連續積分,因此在設計小波母函數上並不實用。

若定義小波轉換中的尺度函數為 ,當以下小波母函數和尺度函數的關係成立時,

 
 

下列四項敘述便是等價的:

1. 小波母函數  個消失動量。

2.  的傅立葉轉換,以及前 次微分在 處均為零。

3.  的傅立葉轉換,以及前 次微分在 處均為零。

4. 對於  區間內的任意 

 
是最高次方為  的多項式函數。

消失動量與小波函數的設計编辑

當濾波器的傅立葉轉換滿足以下的條件時,

 

此濾波器滿足共軛鏡像濾波器的條件。其中 代表離散低通濾波器 離散低通濾波器的傅立葉轉換。

結合共軛鏡像濾波器的條件與消失動量的第3個等價敘述,我們可以將低通濾波器表示為

 

其中 為一多項式函數。

利用上述條件與消失動量的等價敘述,可以簡化設計小波函數的步驟。

消失動量與濾波器長度编辑

在小波轉換中,尺度函數和小波母函數可利用離散濾波器來定義:

 
 

其中 為離散低通濾波器, 則為離散高通濾波器,通常會利用支撐大小(Size of support)來表示濾波器的長度。

從上述 的表示式可得知,

當我們選擇較高的消失動量 時, 將會是具有較高 次方的多項式函數,因此對應到的 便有較長的濾波器長度。

一般而言,擁有較高的消失動量與較短的濾波器長度是一個交換條件的關係,無法兩者同時滿足。

因此在設計連續小波轉換中的小波母函數時,除了消失動量外,也應當把所對應到的濾波器長度考慮進去。

參考文獻编辑