深度 (模論)

交換代數中, 深度交換環的一種不變量,它可以由正則序列定義,或以同調代數中的Ext函子刻劃。

正則序列编辑

 交換環  -模。若元素   滿足  (即:   的零因子),則稱之為  -正則元

一組 M-正則序列是一個   中的有限序列  ,使得對每個  

  -正則元(置  

定理(Rees):若  局部諾特環,元素皆屬於   的正則序列之置換仍是正則序列,而且這類序列中的極大者都具相同長度。

深度编辑

假設同上,並固定一個理想  。定義 -模  I-深度為元素皆屬於   -正則序列的最大長度,記作  (在法文文獻中常記作  )。環   -深度定義為  

  亦可用Ext函子刻劃為使得   的最小非負整數  

下列等式將深度問題化約到局部環的情形:

 

以下定理揭示了深度與射影維度的關係。

定理 (Auslander-Buchsbaum):設   為局部諾特環  為有限生成  -模,而且其射影維度有限,則

 

文獻编辑