純態

純態（pure state）這個名詞出現在幾個領域，包括物理方面的量子力學以及數學方面的泛函分析理論。

量子力學编辑

在量子力學當中，純態由一個相同統計系綜(ensemble)所構成，而相對於純態的混態(mixed state)則可以分解兩個以上的系綜。在量子力學中有諸多表示型(formalism)，一個量子態可由密度矩陣或稱密度算符表示，區分純態和混態的方法即可由此得之。純態S可用狄拉克符号的右括向量表示：

S=|\Psi \rangle

或寫成密度矩陣表示型則為：

S=\rho =|\Psi \rangle \langle \Psi |

给定的量子态对应不同的右矢（相差一个相位）， $|\Psi '\rangle =e^{i\phi }|\Psi \rangle$ ，但对应唯一的密度矩阵 $\rho$ ，从这个角度说，密度矩阵表示更为经济^[1]。由此推广，可以用密度矩阵表示定义更一般的态，

S=\rho =\sum _{i=1}^{N}c_{i}|\Psi _{i}\rangle \langle \Psi _{i}|

其中， $\{|\Psi _{i}\rangle \}$ 是一组（不一定互相正交的）纯态，且 $0<c_{i}\leq 1$ 并满足 $\displaystyle {\textstyle \sum _{i}}c_{i}=1$ 。注意数 $N$ 并不受希尔伯特空间维数的限制。

混态编辑

对于密度矩阵 $\rho$ 表述的量子态，若其不能写作纯态的密度矩阵（其中 $N=1$ 且 $c_{1}=1$ ），则称作混态。

區分純態與混態编辑

區分純態與混態的方法要利用到 $tr(\rho )\,$ 。 $tr(\rho )\,$ 表示對矩陣 $\rho \,$ 取對角線元素和(trace)，將純態和混態做歸一化動作，使得 $tr(\rho )\,$ 之值皆會是1。

而兩者不同處在於 $tr(\rho ^{2})\,$ ：歸一化過的純態 $tr(\rho ^{2})=tr(\rho )=1\,$ ，而歸一化過的混態則 $tr(\rho ^{2})<1\,$ ，和 $tr(\rho )=1\,$ 不同，由此得以辨別出純態與混態。

舉例编辑

$\rho _{1}={\begin{pmatrix}{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2}}\\{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2}}\end{pmatrix}}$ 為純態， $\rho _{2}={\begin{pmatrix}{\frac {1}{2}}&0\\0&{\frac {1}{2}}\end{pmatrix}}$ 為混態

\Rightarrow tr(\rho _{1})=tr(\rho _{2})={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}=1

$\rho _{1}^{2}=\rho _{1}*\rho _{1}={\begin{pmatrix}{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2}}\\{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2}}\end{pmatrix}}$ ； $\rho _{2}^{2}=\rho _{2}*\rho _{2}={\begin{pmatrix}{\frac {1}{4}}&0\\0&{\frac {1}{4}}\end{pmatrix}}$ 。