渐近线

当任意曲线上一点$M$沿曲线无限远离原点时，如果$M$到一条直线（或另外一条曲线）的距离无限趋近于零，那么这条直线（曲线）称为这条曲线的渐近线。數學上的定義則是：若函數$y=f\left(x\right)$的圖形收斂，則漸近線為$y=\lim _{x\to \infty }f\left(x\right)$。

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例解

例如，直线$y={\frac {b}{a}}x$是双曲线${\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1$的渐近线，因为双曲线上的点$M$到直线$y={\frac {b}{a}}x$的距离$MQ<MN$；当$MN$无限趋近于0时，$MQ$也无限趋近于0。所以按照定义，直线$y={\frac {b}{a}}x$是该双曲线的渐近线。同理，直线$y=-{\frac {b}{a}}x$也是该双曲线的渐近线。

对于$F\left(x,y\right)=0$来说，如果当$x\rightarrow a$时，有$y\rightarrow \pm \infty$(左右極限不一定相等)，就把$x=a$叫做$F\left(x,y\right)=0$的垂直渐近线；如果当$x\rightarrow \infty$时，有$y\rightarrow b$，就把$y=b$叫做$F\left(x,y\right)=0$的水平渐近线。例如，$y=3$是曲线$xy=3x+2$的水平渐近线。

求法

依据

求渐近线，可以依据以下结论：

若极限$\lim _{x\to \infty }{\frac {f(x)}{x}}=a$存在，且极限$\lim _{x\to +\infty }\left[f\left(x\right)-ax\right]=b$也存在，那么曲线$y=f\left(x\right)$具有渐近线$y=ax+b$。

例子

例：求$y={\frac {x^{2}}{1+x}}$的渐近线。

解：(1)$x=-1$为其垂直渐近线。

(2)$\lim _{x\to \infty }{\frac {f\left(x\right)}{x}}=\lim _{x\to \infty }{\frac {x}{1+x}}$，即$a=1$；

$\lim _{x\to \infty }\left[f\left(x\right)-ax\right]=\lim _{x\to \infty }{\frac {-x}{1+x}}=-1$，即$b=-1$；

所以$y=x-1$也是其渐近线。