渐近线

在解析几何中,曲线的渐近线是一条线,使得当x或y坐标之一或两者趋于无穷大时,曲线与该线之间的距离接近零。在射影几何和相关上下文中,曲线的渐近线是在无穷大点处与曲线相切的线。

渐近线这个词源于希腊语ἀσύμπτωτος(asumptōtos),意为“不在一起。 +σύν“在一起” +πτωτ-ός“堕落”。该术语是Perga的Apollonius在其圆锥截面的工作中引入的,但与它的现代含义相反,他用它来表示不与给定曲线相交的任何直线。

有三种渐近线:水平,垂直和倾斜。对于由函数y =ƒ(x)的图给出的曲线,水平渐近线是水平线,函数的图随着x趋于+∞或-∞趋近于水平线。垂直渐近线是垂直线,函数在该垂直线附近无限增长。斜渐近线的斜率非零但有限,因此当x趋于+∞或-∞时,函数的图接近该斜率。

更一般地说,如果两条曲线之间的距离趋于无穷大,则两条曲线之间的距离趋向于零,则一条曲线是另一条曲线的曲线渐近线,尽管术语“渐近线”本身通常是为线性渐近线保留的。

渐近线传达有关大曲线特性的信息,确定函数的渐近线是绘制函数图的重要步骤。从广义上讲,对功能渐近线的研究是渐近分析主题的一部分。当任意曲线上一点沿曲线无限远离原点时,如果到一条直线(或另外一条曲线)的距离无限趋近于零,那么这条直线(曲线)称为这条曲线的渐近线。數學上的定義則是:若函數的圖形收斂,則漸近線為

例解编辑

例如,直线 双曲线 的渐近线,因为双曲线上的点 到直线 的距离 ;当 无限趋近于0时, 也无限趋近于0。所以按照定义,直线 是该双曲线的渐近线。同理,直线 也是该双曲线的渐近线。

对于 来说,如果当 时,有 (左右極限不一定相等),就把 叫做 的垂直渐近线;如果当 时,有 ,就把 叫做 的水平渐近线。例如, 是曲线 的水平渐近线。

求法编辑

依据编辑

求渐近线,可以依据以下结论:

极限 存在,且极限 也存在,那么曲线 具有渐近线 

例子编辑

例:求 的渐近线。

解:(1) 为其垂直渐近线。

(2) ,即 

 ,即 

所以 也是其渐近线。