潘洛斯圖形符號

數學物理學中,潘洛斯圖形符號(英語:Penrose graphical notation)或稱張量圖符號tensor diagram notation)是多線性函數張量的一種圖形表示法,由羅傑·潘洛斯所提出。[1]

這樣的圖有多種幾何圖案,之間由線段相連。Predrag Cvitanović曾深入研究此方法,將之用在古典李群的分類上。[2]

透過表示論,此方法也被推廣至物理學中的自旋網路,以及線性代數矩陣群相關的跡數圖英语trace diagram

詮釋编辑

多線性代數编辑

張量编辑

矩陣编辑

特殊張量表象编辑

度規張量编辑

度規張量由U形或倒U形的迴圈所表示,正U或倒U由張量類型決定。

 
度規張量 
 
度規張量 

列維-奇維塔張量编辑

列維-奇維塔反對稱張量由粗的水平橫桿來表示,其上有朝上或朝下的小棍,由張量類型所決定。

 
 
 
 
 
  

結構常數编辑

李代數的結構常數( )由一帶有一條朝上線、兩條朝下線的小三角形所表示。

 
結構常數 

張量運算编辑

指標縮併编辑

指標進行張量縮併英语Tensor contraction可由指標線相連來表示。

 
克羅內克δ函數  
 
點積  
 
 

對稱化编辑

指標的對稱化由水平穿越指標線的粗鋸齒狀橫桿來表示。

 
對稱化
 
(其中 

反對稱化编辑

指標的反對稱化是由水平穿越指標線的粗直線來表示。

 
反對稱化
 
(其中 

行列式编辑

行列式透過指標的反對稱化而形成。

 
行列式 
 
逆矩陣 

協變導數编辑

協變導數 )是由一圍繞待運算之張量的圓圈所表示,另有一條朝下的線連接圓圈表示導數的下標。

 
協變導數 

張量操作编辑

圖形符號法在張量代數的操作中頗有用處。這些操作通常牽涉到一些與張量有關的恆等式

舉例來說,一個常見的恆等式:

 

其中n是維度。

黎曼曲率張量编辑

使用黎曼曲率張量所描述的里奇恆等式與比安基恆等式,可展示出潘洛斯圖形符號的威力。

 
里奇張量  
 
里奇恆等式  
 
比安基恆等式 

擴充编辑

此符號標記法已擴充到旋量扭量的使用。[3][4]

相關條目编辑

參考文獻编辑

  1. ^ see e.g. Quantum invariants of knots and 3-manifolds" by V. G. Turaev (1994), page 71
  2. ^ Predrag Cvitanović. Group Theory: Birdtracks, Lie's, and Exceptional Groups. Princeton University Press. 2008 [2015-05-23]. (原始内容存档于2011-07-20). 
  3. ^ Penrose, R.; Rindler, W. Spinors and Space-Time: Vol I, Two-Spinor Calculus and Relativistic Fields. Cambridge University Press. 1984: 424–434. ISBN 0-521-24527-3. 
  4. ^ Penrose, R.; Rindler, W. Spinors and Space-Time: Vol. II, Spinor and Twistor Methods in Space-Time Geometry. Cambridge University Press. 1986. ISBN 0-521-25267-9. 

外部連結编辑