打开主菜单

特徵方程式

(重定向自特征方程

特徵方程式(characteristic equation)或輔助方程式(auxiliary equation)[1]為数学名詞,是對應n微分方程[2]差分方程英语linear difference equation[3][4]n英语Degree of a polynomial代數方程式。只有線性齊次常系數的微分方程或差分方程才有特徵方程式[1]。考慮一微分方程,其因变量yan, an − 1, ..., a1, a0常数

其特徵方程式如下

根據其解r1, r2, ..., rn可以產生微分方程的通解[1][5][6]。而一個線性差分方程

也有其特徵方程式

特徵方程式的根也可以提供動態方程的特性資訊。若是一個自變數為時間的微分方程,其應變數稳定的充份必要條件是每一個根的實部都是負值。若是差分方程,穩定的充份必要條件是每一個根的绝对值都小於1。針對這兩種系統,若是有复数根,表示其解會振盪。

線性常係數常微分方程的积分求解法是由萊昂哈德·歐拉發現,他也發現了其解的特性和代數的「特徵方程」有關[2]。後來法國科學家奧古斯丁·路易·柯西加斯帕尔·蒙日也提及歐拉的特徵方程,而且提到不少細節[2][6]

目录

推導编辑

考慮常係數的線性齊次微分方程 an, an − 1, ..., a1, a0,

 

假設y(x) = erx,而指數函數erx的導數是本身的倍數,y′ = rerx, y″ = r2erxy(n) = rnerx。因此上式中的每一項都會是erx的倍數。若r為特定值,可以讓erx的倍數變為0,這樣即可求解齊次微分方程[5]。為了求解r,可以將y = erx及其導數替換到微分方程中,可以得到

 

因為erx不會為零,因此其係數必須為零,可以得到以下的特徵方程式

 

求解特徵方程式中的r,可以求得微分方程的通解[1][6]。例如,若r為3,其通解為y(x) = ce3x,其中c積分常數

有關通解的公式编辑

找到特徵方程式的根r1, ..., rn,就可以找到微分方程的通解。特徵方程式的根可能是实数複數,可能都是不同的值,也可能會有相同的值(重根)。若特徵方程式的根有相異的實根,另外有h個重根,或是k個複數的根,其解分別為yD(x), yR1(x), ..., yRh(x)yC1(x), ..., yCk(x),因此通解為

 

例子编辑

以下是常係數的線性齊次微分方程

 

其特徵方程為

 

將特徵方程因式分解,可得到

 

可以看到r的解有一個單根,r1 = 3以及重根的複數根r2,3,4,5 = −1 ± i,因此其通解為

 

其中有常數c1, ..., c5

相異實根编辑

根據應用在常係數線性齊次微分方程的叠加原理,若u1, ..., un是特定微分方程的n線性無關的解,則c1u1 + ... + cnun也是其解,其中c1, ..., cn為任意常數[1][7]。因此,若特徵方程有相異實根r1, ..., rn,則通解為

 

重根實根编辑

若特徵方程式中有重複k次的根r1,可以確定yp(x) = c1er1x會是微分方程的解,不過這個解沒有針對其他k − 1的根提供線性獨立的解。因為r1k次重根,可以將微分方程改寫為[1]

 .

因為yp(x) = c1er1x為其中的一個解,因此可以令通解為以下的形式y(x) = u(x)er1x,其中 u(x)是待確認的函數。將uer1x代入後可得

 

其中k = 1。上述的式子應用k次,可以得到

 

除以er1x後可得

 

上述式子若且唯若u(x)k − 1次的多項式,因此u(x) = c1 + c2x + c3x2 + ... + ckxk − 1.[6]。因為y(x) = uer1x,因此通解中對應r1的解會是

 

複數根编辑

若二階微分方程有共轭复数r1 = a + bir2 = abi,其對應的通解為y(x) = c1e(a + bi)x + c2e(abi)x。利用欧拉公式e = cos θ + i sin θ),可以將通解改寫如下:

 

其中c1c2是係數,不過可能不是實數,而且隨初始條件而不同[6](因為y(x)是實數,c1c2需要是虛數或是零,c1 + c2為實數,為了要讓等號右邊為實數)

例如,若c1 = c2 = 1/2,可以得到特解y1(x) = eax cos bx,另外,若c1 = 1/2ic2 = −1/2i,可以得到另一個獨立的解y2(x) = eax sin bx。利用重疊原則,有r = a ± bi複根的常係數線性齊次微分方程,其通解如下:

 

上述的分析也可以應用在高階微分方程,其特徵方程式中也可能有非實數的共軛根。

參考資料编辑

  1. ^ 1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 Edwards, C. Henry; Penney, David E. Chapter 3. Differential Equations: Computing and Modeling. David Calvis. Upper Saddle River, New Jersey: Pearson Education. : 156–170. ISBN 978-0-13-600438-7. 
  2. ^ 2.0 2.1 2.2 Smith, David Eugene. History of Modern Mathematics: Differential Equations. University of South Florida. 
  3. ^ Baumol, William J. Economic Dynamics 3rd. 1970: 172. 
  4. ^ Chiang, Alpha. Fundamental Methods of Mathematical Economics 3rd. 1984: 578, 600. 
  5. ^ 5.0 5.1 Chu, Herman; Shah, Gaurav; Macall, Tom. Linear Homogeneous Ordinary Differential Equations with Constant Coefficients. eFunda. [1 March 2011]. 
  6. ^ 6.0 6.1 6.2 6.3 6.4 Cohen, Abraham. An Elementary Treatise on Differential Equations. D. C. Heath and Company. 1906. 
  7. ^ Dawkins, Paul. Differential Equation Terminology. Paul's Online Math Notes. [2 March 2011].