狄利克雷卷積

在算術函數集上,可以定義一種二元運算,使得取這種運算為乘法,取普通函數加法為加法,使得算術函數集為一個交換。其中一種這樣的運算便是狄利克雷卷積。它和一般的卷積有不少相類之處。

對於算術函數,定義其狄利克雷卷積

取狄利克雷卷積為運算,積性函數集是算術函數集的子

運算编辑

  • 交換律 
  • 結合律 
  • 分配律 
  • 存在單位函數ε使得 。ε(n)的值為1若n=1,否則ε(n)=0。
  • 對於任意算術函數 ,若 不等於0,都有唯一的逆函數 ,使得 

 的值如下:

 
對於  

默比烏斯函數μ的逆函數為(一般意義上的)1,即對於  。這是默比烏斯反轉公式的原理。

狄利克雷卷積以數學家狄利克雷命名。1857年劉維爾曾發表了許多包含這個運算的恆等式。將它視為二元運算這個觀點是E. T. 貝爾和 M. Cipolla 在1915年提出的。

導數编辑

若定義 的「導數」 ,可以發現這個運算和連續函數導數有不少相似的地方:

  •  
  •  
  •  

級數编辑

對於算術函數 ,定義其狄利克雷級數

 

對於一些算術函數的狄利克雷級數,它們的積,跟那些算術函數的狄利克雷卷積的狄利克雷級數是相等的:

 

這跟卷積定理很相似。

定義 貝爾級數

 

也有類似的關係:

  •  

參考编辑