狄利克雷定理

定理

狄利克雷定理狄利克雷于1837年发表的数论中关于质数同余类中分布的定理:对于任意互质正整数同余的质数集合相对质数集合密度

定理内容编辑

狄利克雷定理表明:

  互质,则 
其中, 欧拉函数 为质数计数函数, 为模 同余 集合中小于 的质数个数。

质数在同余类中的分布编辑

狄利克雷定理揭示了质数在同余类中的分布。

形象地说,在模 同余类中,除去不包含或仅包含有限个质数的同余集合,质数的分布是大致均匀的。

  •  为例:共有  个模 同余集合,其中同余集合 不包含或只含有限个质数,剩下的质数近乎等概率地分布在同余集合 中:
在不大于 的质数中,质数在 中的比率分别为  
在不大于 的质数中,质数在 中的比率分别为  
在不大于 的质数中,质数在 中的比率分别为  
  •  为例:共有  个模 同余集合,其中同余集合 不包含或只含有限个质数,剩下的质数近乎等概率地分布在同余集合 中:
不大于 的质数中,质数在 中的比率分别为  
在不大于 的质数中,质数在 中的比率分别为  
在不大于 的质数中,质数在 中的比率分别为  

相關定理编辑

  • 歐幾里得證明了有無限個質數,即有無限多個質數的形式如 
  • 算術級數的質數定理:若 互質,則有
 

其中φ是歐拉函數。取 ,可得一般的質數定理

歷史编辑

歐拉曾以 ,來證明質數有無限個。約翰·彼得·狄利克雷得以靈感,借助證明 來證明算術級數中有無限個質數。這個定理的證明中引入了狄利克雷L函數,應用了一些解析數學的技巧,是解析數論的重要里程碑。

推廣编辑

這個定理的一些推廣形式,但是都還只是未被證明的猜想而已,並不是定理。

參考编辑

  • T. M. Apostol (1976). Introduction to Analytic Number Theory. Springer-Verlag. ISBN 0-387-90163-9. Chapter 7