物理学中通常使用的球坐标
(r, θ, φ) (ISO 约定):徑向距離
r,极角
θ (
theta) 与方位角
φ (
phi)。
在數學裏,球座標系(spherical coordinate system)是一種利用球座標
表示一個點P在三維空間的位置的三維正交座標系。右圖顯示了球座標的幾何意義:原點與點P之間的徑向距離(radial distance)
,原點到點P的連線與正z-軸之間的极角(polar angle)
,以及原點到點P的連線在xy-平面的投影線,與正x-軸之間的方位角(azimuth angle)
。它可以被视为极坐标系的三维版本。
在學術界內,關於球座標系的標記有好幾個不同的約定。按照國際標準化組織建立的約定(ISO 31-11),徑向距離、天頂角、方位角,分別標記為
。這種標記在世界各地有許多使用者。通常,物理界的學者也採用這種標記。而在數學界,天頂角與方位角的標記正好相反:
被用來代表天頂角,
被用來代表方位角。數學界的球座標標記是
。這種標記的優點是較廣的相容性:在二維極座標系與三維圓柱座標系裏,
都同樣地代表徑向距離,
也都同樣地代表方位角。本條目採用的是物理標記約定。
目录
座標系變換编辑
三維空間裏,有各種各樣的座標系。球座標系只是其中一種。球座標系與其他座標系的變換需要用到特別的方程式。
直角座標系编辑
使用以下等式,可從直角座標變換為球座標:
- ,
- ,
- 。
- 計算 時:
- 1. 必須依照 所處的象限來計算正確的反正切值。
- 2. 當 時,判斷 的值:
- 若 ,則 ,
- 若 ,則 ,
- 若 ,則 為未定值 ( 因為 為未定式 )。
反過來,也可從球座標變換為直角座標:
- ,
- ,
- 。
地理座標系编辑
地理座標系是球座標系的第二個版本。地理座標標记为 ,其中 表示径向距离, 表示方位角, 表示高度角。它主要是用在地理學。通常在地理學裏, 會被用來表示高度,或者完全不被使用。
緯度的定義域是 ,南緯或北緯。使用以下方程式,可從緯度 變換為天頂角:
- :北緯, ,
- :南緯, 。
經度 的定義域是 。設定經過倫敦格林維治天文台的子午線為經度 ,往東或往西 度。使用以下方程式,可從經度變換為方位角
- :往東, ,
- :往西, 。
圓柱座標系编辑
圓柱座標系是極座標系在三維空間往z-軸的延伸。 座標用來表示高度。使用以下方程式,可以從球座標變換為圓柱座標 :
- 、
- 、
- 。
反過來,可以從圓柱座標變換為球座標:
- 、
- 、
- 。
球座標系的標度因子分別為:
- 、
- 、
- 。
無窮小體積元素是
- 。
拉普拉斯算子是
- 。
其它微分算子,像 、 ,都可以用 座標表示,只要將標度因子代入在正交座標系條目內對應的一般公式。
球坐标系下的积分和微分公式编辑
假定 是從原點到P點的連線與正z-軸的夾角
- 线元素是一个从 到 的无穷小位移,表示为公式:
- ;
其中的 是在 的各自的增加的方向上的单位矢量。
- 面积元素1:在球面上,固定半径,天顶角从 到 ,方位角从 到 变化,公式为:
- 。
- 面积元素2:固定天顶角 ,其他两个变量变化,則公式为:
- 。
- 面积元素3:固定方位角 ,其他两个变量变化,則公式为:
- 。
- 体积元素,徑向座標从 到 ,天顶角从 到 ,并且方位角从 到 的公式为:
- 。
- 。
- 。
- 。
- 。
地理座標系用兩個角值,緯度與經度,來表示地球表面的地點。正如二維直角座標系專精在平面上,二維球座標系可以很簡易的設定圓球表面上的點的位置。在這裏,我們認定這圓球是個單位圓球;其半徑是1。通常我們可以忽略這圓球的半徑。在解析旋轉矩陣問題上,這方法是非常有用的。
球座標系適用於分析一個對稱於點的系統。舉例而言,一個圓球,其直角座標方程式為 ,可以簡易的用球座標系 來表示。
當求解三重積分時,如果定義域為圓球,則面積元素是
- ;
體積元素是
- 。
用來描述與分析擁有球狀對稱性質的物理問題,最自然的座標系,莫非是球座標系。例如,一個具有質量或電荷的圓球形位勢場。兩種重要的偏微分方程式,拉普拉斯方程與亥姆霍茲方程,在球座標裏,都可以成功的使用分離變數法求得解答。這種方程式在角部分的解答,皆呈球諧函數的形式。
球座標的概念,延伸至高維空間,則稱為超球座標。