球座標系

物理学中通常使用的球坐标(r, θ, φ) (ISO 约定)：徑向距離 r，极角θ (theta) 与方位角φ (phi)。

在數學裏，球座標系（spherical coordinate system）是一種利用球座標$(r,\ \theta ,\ \varphi )$表示一個點P在三維空間的位置的三維正交座標系。右圖顯示了球座標的幾何意義：原點與點P之間的徑向距離（radial distance）$r$，原點到點P的連線與正z-軸之間的极角（polar angle）$\theta$，以及原點到點P的連線在xy-平面的投影線，與正x-軸之間的方位角（azimuth angle）$\varphi$。它可以被视为极坐标系的三维版本。

在學術界內，關於球座標系的標記有好幾個不同的約定。按照國際標準化組織建立的約定（ISO 31-11），徑向距離、天頂角、方位角，分別標記為$(r,\ \theta ,\ \varphi )$。這種標記在世界各地有許多使用者。通常，物理界的學者也採用這種標記。而在數學界，天頂角與方位角的標記正好相反：$\varphi$被用來代表天頂角，$\theta$被用來代表方位角。數學界的球座標標記是$(\rho ,\ \varphi ,\ \theta )$。這種標記的優點是較廣的相容性：在二維極座標系與三維圓柱座標系裏，$\rho$都同樣地代表徑向距離，$\theta$也都同樣地代表方位角。本條目採用的是物理標記約定。

目录

定義

球座標系的幾個座標曲面。紅色圓球面的$r=2$。藍色圓錐面的$\theta =45^{\circ }$。黃色半平面的$\phi =-60^{\circ }$（黃色半平面與xz-半平面之間的二面角角度是$\left|\phi \right|$）。z-軸是垂直的，以白色表示。x-軸以綠色表示。三個座標曲面相交於點P（以黑色的圓球表示）。直角座標大約為$(0.707,-1.225,1.414)$。

假設P點在三維空間的位置的三個座標是$(r,\ \theta ,\ \phi )$。那麼，0 ≤ r是從原點到P點的距離，0 ≤ θ ≤ π是從原點到P點的連線與正z-軸的夾角，0 ≤ φ < 2π是從原點到P點的連線在xy-平面的投影線，與正x-軸的夾角。

這裏，$\theta$代表天頂角，$\phi$代表方位角。當 $r=0$時，$\theta$與$\phi$都一起失去意義。當$\theta =0$或$\theta =\pi$時，$\phi$失去意義。

如想要用球座標，找出點P在空間的地點，可按照以下步驟：

1. 從原點往正z-軸移動$r$單位，
2. 用右手定則，大拇指往y-軸指，x-軸與z-軸朝其他手指的指向旋轉$\theta$角值，
3. 用右手定則，大拇指往z-軸指，x-軸與y-軸朝其他手指的指向旋轉$\phi$角值。

座標系變換

三維空間裏，有各種各樣的座標系。球座標系只是其中一種。球座標系與其他座標系的變換需要用到特別的方程式。

直角座標系

主条目：直角座標系

使用以下等式，可從直角座標變換為球座標：

${r}={\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}$，

${\theta }=\arccos \left({\frac {z}{r}}\right)=\arcsin \left({\frac {\sqrt {x^{2}+y^{2}}}{r}}\right)=\arctan \left({\frac {\sqrt {x^{2}+y^{2}}}{z}}\right)$，

${\phi }=\arccos \left({\frac {x}{r\sin \theta }}\right)=\arcsin \left({\frac {y}{r\sin \theta }}\right)=\arctan \left({\frac {y}{x}}\right)$。

計算 ${\phi }$ 時：

1. 必須依照 $(x,\ y)$ 所處的象限來計算正確的反正切值。

2. 當 ${x}=0$ 時，判斷 ${y}$ 的值：

若 ${y}>0$，則 ${\phi }={\frac {\pi }{2}}$，

若 ${y}<0$，則 ${\phi }={-{\frac {\pi }{2}}}$，

若 ${y}=0$，則 ${\phi }$ 為未定值 ( 因為 ${\frac {0}{0}}$ 為未定式 )。

反過來，也可從球座標變換為直角座標：

$x=r\sin \theta \cos \phi$，

$y=r\sin \theta \sin \phi$，

$z=r\cos \theta$。

地理座標系

更多信息：經緯度

地理座標系是球座標系的第二個版本。地理座標標记为$(\rho ,\ \lambda ,\ \delta )$，其中$\rho \,$表示径向距离，$\lambda$表示方位角，$\delta$表示高度角。它主要是用在地理學。通常在地理學裏，$\rho \,$會被用來表示高度，或者完全不被使用。

緯度的定義域是$0^{\circ }\leq \delta \leq 90^{\circ }$，南緯或北緯。使用以下方程式，可從緯度$\delta$變換為天頂角：

1. $\theta \leq 90^{\circ }$：北緯，$\delta =90^{\circ }-\theta$，
2. $\theta \geq 90^{\circ }$：南緯，$\delta =\theta -90^{\circ }$。

經度$\lambda$的定義域是$-180^{\circ }\leq \lambda \leq 180^{\circ }$。設定經過倫敦格林維治天文台的子午線為經度$0^{\circ }$，往東或往西$\lambda$度。使用以下方程式，可從經度變換為方位角

1. $\phi \leq 180^{\circ }$：往東，$\lambda =\phi$，
2. $\phi \geq 180^{\circ }$：往西，$\lambda =\phi -360^{\circ }$。

圓柱座標系

用圓柱座標來表示一個點的位置

更多信息：圓柱座標系

圓柱座標系是極座標系在三維空間往z-軸的延伸。$z$座標用來表示高度。使用以下方程式，可以從球座標變換為圓柱座標$(\rho ,\ \phi ,\ z)$：

$r={\sqrt {\rho ^{2}+z^{2}}}$、

$\theta =\arctan {\frac {\rho }{z}}$、

$\phi =\phi$。

反過來，可以從圓柱座標變換為球座標：

$\rho =r\sin \theta$、

$\phi =\phi$、

$z=r\cos \theta$。

標度因子

球座標系的標度因子分別為：

$h_{r}=1$、

$h_{\theta }=r$、

$h_{\phi }=r\sin \theta$。

無窮小體積元素是

$dV=r^{2}\sin \theta \,dr\,d\theta \,d\phi$。

拉普拉斯算子是

$\nabla ^{2}\Phi ={1 \over r^{2}}{\partial \over \partial r}\!\left(r^{2}{\partial \Phi \over \partial r}\right)\!+\!{1 \over r^{2}\!\sin \theta }{\partial \over \partial \theta }\!\left(\sin \theta {\partial \Phi \over \partial \theta }\right)\!+\!{1 \over r^{2}\!\sin ^{2}\theta }{\partial ^{2}\Phi \over \partial \phi ^{2}}$。

其它微分算子，像$\nabla \cdot \mathbf {F}$、$\nabla \times \mathbf {F}$，都可以用$(r,\ \theta ,\ \phi )$座標表示，只要將標度因子代入在正交座標系條目內對應的一般公式。

球坐标系下的积分和微分公式

假定$\theta$是從原點到P點的連線與正z-軸的夾角

• 线元素是一个从$(r,\theta ,\phi )$到$(r+\mathrm {d} r,\,\theta +\mathrm {d} \theta ,\,\phi +\mathrm {d} \phi )$的无穷小位移，表示为公式：

$\mathrm {d} \mathbf {r} =\mathrm {d} r\,{\boldsymbol {\hat {r}}}+r\,\mathrm {d} \theta \,{\boldsymbol {\hat {\theta }}}+r\sin {\theta }\mathrm {d} \phi \,\mathbf {\boldsymbol {\hat {\phi }}}$；

其中的${\boldsymbol {\hat {r}}},{\boldsymbol {\hat {\theta }}},{\boldsymbol {\hat {\phi }}}$是在$r,\theta ,\phi$的各自的增加的方向上的单位矢量。

• 面积元素1：在球面上，固定半径，天顶角从$\theta$到$\theta +\mathrm {d} \theta$，方位角从$\phi$到$\phi +\mathrm {d} \phi$变化，公式为：

$\mathrm {d} S_{r}=r^{2}\sin \theta \,\mathrm {d} \theta \,\mathrm {d} \phi$。

• 面积元素2：固定天顶角$\theta$，其他两个变量变化，則公式为：

$\mathrm {d} S_{\theta }=r\,\sin \theta \,\mathrm {d} r\,\mathrm {d} \phi$。

• 面积元素3：固定方位角$\phi$，其他两个变量变化，則公式为：

$\mathrm {d} S_{\phi }=r\,\mathrm {d} r\,\mathrm {d} \theta$。

• 体积元素，徑向座標从$r$到$r+\mathrm {d} r$，天顶角从$\theta$到$\theta +\mathrm {d} \theta$，并且方位角从$\phi$到$\phi +\mathrm {d} \phi$的公式为：

$\mathrm {d} V=r^{2}\sin \theta \,\mathrm {d} r\,\mathrm {d} \theta \,\mathrm {d} \phi$。

• 梯度公式：

$\nabla f={\partial f \over \partial r}{\boldsymbol {\hat {r}}}+{1 \over r}{\partial f \over \partial \theta }{\boldsymbol {\hat {\theta }}}+{1 \over r\sin \theta }{\partial f \over \partial \phi }{\boldsymbol {\hat {\phi }}}$。

• 散度公式：

$\nabla \cdot \mathbf {A} ={\frac {1}{r^{2}}}{\partial \over \partial r}\left(r^{2}A_{r}\right)+{\frac {1}{r\sin \theta }}{\partial \over \partial \theta }\left(\sin \theta A_{\theta }\right)+{\frac {1}{r\sin \theta }}{\partial A_{\phi } \over \partial \phi }$。

• 旋度公式：

$\nabla \times \mathbf {A} =\displaystyle {1 \over r\sin \theta }\left({\partial \over \partial \theta }\left(A_{\phi }\sin \theta \right)-{\partial A_{\theta } \over \partial \phi }\right){\boldsymbol {\hat {r}}}+\displaystyle {1 \over r}\left({1 \over \sin \theta }{\partial A_{r} \over \partial \phi }-{\partial \over \partial r}\left(rA_{\phi }\right)\right){\boldsymbol {\hat {\theta }}}+\displaystyle {1 \over r}\left({\partial \over \partial r}\left(rA_{\theta }\right)-{\partial A_{r} \over \partial \theta }\right){\boldsymbol {\hat {\phi }}}$。

• 拉普拉斯算子是

$\nabla ^{2}f={1 \over r^{2}}{\partial \over \partial r}\!\left(r^{2}{\partial f \over \partial r}\right)\!+\!{1 \over r^{2}\!\sin \theta }{\partial \over \partial \theta }\!\left(\sin \theta {\partial f \over \partial \theta }\right)\!+\!{1 \over r^{2}\!\sin ^{2}\theta }{\partial ^{2}f \over \partial \phi ^{2}}$。

應用

地理座標系用兩個角值，緯度與經度，來表示地球表面的地點。正如二維直角座標系專精在平面上，二維球座標系可以很簡易的設定圓球表面上的點的位置。在這裏，我們認定這圓球是個單位圓球；其半徑是1。通常我們可以忽略這圓球的半徑。在解析旋轉矩陣問題上，這方法是非常有用的。

球座標系適用於分析一個對稱於點的系統。舉例而言，一個圓球，其直角座標方程式為$x^{2}+y^{2}+z^{2}=c^{2}$，可以簡易的用球座標系$\rho =c$來表示。

當求解三重積分時，如果定義域為圓球，則面積元素是

$dS=r^{2}\sin \theta \,d\theta \,d\phi$；

體積元素是

$dV=r^{2}\sin \theta \,dr\,d\theta \,d\phi$。

用來描述與分析擁有球狀對稱性質的物理問題，最自然的座標系，莫非是球座標系。例如，一個具有質量或電荷的圓球形位勢場。兩種重要的偏微分方程式，拉普拉斯方程與亥姆霍茲方程，在球座標裏，都可以成功的使用分離變數法求得解答。這種方程式在角部分的解答，皆呈球諧函數的形式。

球座標的概念，延伸至高維空間，則稱為超球座標。

參閱

• 天球坐标系统
• 欧拉角
• 雅可比矩阵