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球谐函数

球谐函数拉普拉斯方程球坐标系形式解的角度部分。在古典場論量子力学等领域广泛应用。

目录

函数的推导编辑

本微分方程的推导编辑

球坐标下的拉普拉斯方程式:

 
 
實值的球諧函數 Ylm,l = 0 到 4 (由上至下),m=0 到 4(由左至右)。負數階球諧函數 Yl,-m 可由正數階函數對 z-軸轉 90/m 度得到。

利用分离变量法,设定   。其中 代表角度部分的解,也就是球谐函数

代入拉普拉斯方程,得到:

 

分离变量后得:

  ,整理得 

本征方程的求解编辑

这里, 是一个以 为周期的函数,即满足周期性边界条件 ,因此 必须为整数。而且可以解出:

  

而对于 的方程,进行变量替换    ,得到关于 的伴随勒让德方程。方程的解应满足在 区间上取有限值,此时必须有 ,其中 为自然数,且 。对应方程的解为 。即可以解出:

  

故球谐函数可以表达为:

  

其中N 是归一化因子。

經過歸一化後,球谐函数表達為:

 

这里的   称为    的球谐函数。以上推导过程中, 虛數單位 伴随勒让德多项式

其中  用方程式定義為:

 

  勒讓德多項式,可用羅德里格公式表示為:

 

前几阶球谐函数编辑

        極坐標中的表達式 直角坐標中的表達式 量子力學中的記号
0 0          
1 0          
1 +1            
1 -1          
2 0          
2 +1            
2 -1          
2 +2            
2 -2          
3 0          
3 +1            
3 -1          
3 +2            
3 -2          
3 +3            
3 -3          

 

 

 

 
 
 

 

 
 
 
 
 

参见编辑