延森不等式

(重定向自琴生不等式

琴生不等式(Jensen's inequality)丹麥數學家約翰·延森(Johan Jensen)命名。它給出積分凸函數值和凸函數的積分值間的關係。延森不等式有以下推论:过一个凸函数上任意两点所作割线一定在这两点间的函数图象的上方,即:

一般形式编辑

延森不等式可以用測度論概率論的語言給出。這兩種方式都表明同一個很一般的結果。

測度論的版本编辑

假設 是集合 的正測度,使得 。若 勒貝格可積實值函數,而 是在 的值域上定義的凸函數,則

 

概率論的版本编辑

以概率論的名詞, 是個概率測度。函數 換作實值隨機變數 (就純數學而言,兩者沒有分別)。在 空間上,任何函數相對於概率測度 的積分就成了期望值。這不等式就說,若 是任一凸函數,則

 

特例编辑

機率密度函數的形式编辑

假設 是實數軸上的可測子集,而 是非負函數,使得

 

以概率論的語言, 是個機率密度函數

延森不等式变成以下關於凸積分的命題:

 是任一實值可測函數,  的值域中是凸函數,則

 

 ,則這形式的不等式簡化成一個常用特例:

 

有限形式编辑

 是有限集合 ,而  上的正規計數測度,則不等式的一般形式可以簡單地用和式表示:

 

,其中 

 是凹函數,只需把不等式符號調轉。

假設 是正實數,   。上述和式便成了

 

,兩邊取自然指數就得出熟悉的平均數不等式

 

這不等式也有無限項的離散形式。

統計物理學编辑

統計物理學中,若凸函數是指數函數,延森不等式特別重要:

 

,其中方括號表示期望值,是以隨機變數X的某個概率分佈算出。這個情形的證明很簡單(參見Chandler, Sec. 5.5):在以下等式的第三個指數函數

 

套用不等式

 

,即得出所求的不等式。

參考書目编辑

注釋编辑

外部連結编辑