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反常積分

(重定向自瑕积分

反常积分(英語:Improper integral)(又叫广义积分,为较早時期中国大陆教科书的称呼,现在已弃用。),是对普通定积分的推广,分成兩類。第一類反常積分,稱為無窮積分,指積分區間的上限或下限為無窮的積分。第二類反常積分,稱為瑕積分,指被積函數在積分區間中含有不連續點的積分。

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第一類反常積分编辑

 
第一類反常積分:上限或下限為無限的積分。

定義编辑

第一類反常積分是無窮積分,指積分區間的上限或下限中含有無窮 ∞ 的积分。數學定義如下:

设函数 f (x)[a,+∞) 上連續且可積。定義無窮積分:

 

类似的,设函数 f (x)(–∞, a] 上連續且可積。定義無窮積分:

 

当上述极限存在时,称該积分收敛。当上述极限不存在时,称该积分发散

例子如下:

 
 ,即發散;
  ,振動發散。

推廣定義编辑

第一類反常積分的定義能進一步推廣至上限及下限皆為無窮 ∞ 的積分。

设函数 f (x)(–∞,+∞) 上連續且可積。定義無窮積分:

 

或者取區間上任意一點 c ,分拆寫成:

 

當上述極限同時存在時,稱該積分收斂。當上述極限至少有一個不存在時,稱該積分發散。

例子如下:

 
 ,即發散。

與柯西主值的聯繫编辑

在無窮積分的推廣定義中,兩個極限須分別處理,即兩者的收斂速度可能不同。在柯西主值的理解下,可假設兩個極限的收斂速度相同。

设函数 f (x)(–∞,+∞) 上連續且可積。定義無窮積分的柯西主值:

 

若在相同收斂速度下,兩者可以互相抵消,則該積分的柯西主值存在。舉例來說:

 

根據定義,若無窮積分收斂,則其柯西主值收斂,且二者相等。但無窮積分的柯西主值收斂,該積分未必收斂。

第二類反常積分编辑

 
第二類反常積分:被積函數的區間中含有不連續點。

定義编辑

第二類反常積分是瑕積分,指積分區間的上限或下限是被積函數的不連續點。數學定義如下:

設函數 f (x)(a, b] 上連續且可積,但在點 a 不連續。定義瑕積分:

 

類似的,設函數 f (x)[a, b) 上連續且可積,但在點 b 不連續。定義瑕積分:

 

當上述極限存在時,稱該積分收斂。當上述極限不存在時,稱該積分發散

例子如下:

 
 ,即發散。

推廣定義编辑

第二類反常積分的定義能進一步推廣至上限及下限皆為不連續點,或上限及下限之間含有不連續點的積分。

設函數 f (x)(a, b) 上連續且可積,但在點 ab 不連續。定義瑕積分:

 

或者取區間上任意一點 c ,分拆寫成:

 

設函數 f (x)[a, c)(c, b]上連續且可積,但在點 c 不連續。定義瑕積分:

 

當上述極限存同時在時,稱該積分收斂。當上述極限至少有一個不存在時,稱該積分發散。

例子如下:

 
 ,即發散。

與柯西主值的聯繫编辑

在瑕積分的推廣定義中,兩個極限須分別處理,即兩者的收斂速度可能不同。在柯西主值的理解下,可假設兩個極限的收斂速度相同。

設函數 f (x)(a, b) 上連續且可積,但在點 ab 不連續。定義瑕積分的柯西主值:

 

設函數 f (x)[a, c)(c, b]上連續且可積,但在點 c 不連續。定義瑕積分的柯西主值:

 

若在相同收斂速度下,兩者可以互相抵消,則該積分的柯西主值存在。舉例來說:

 

根據定義,若瑕積分收斂,則其柯西主值收斂,且二者相等。但瑕積分的柯西主值收斂,該積分未必收斂。

参考文献编辑

参见编辑