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抽象代數學代數幾何學中,一個交換環是指其素理想全體形成的集合,記作。它被賦予扎里斯基拓撲和結構層,從而成爲局部賦環空間

一個局部賦環空間若同構於一個交換環譜,即稱爲仿射概形

扎里斯基拓撲编辑

對於交換環   裡的任一理想  ,置  。容易證明下述性質:

  •  
  •  
  •  若且唯若 

因此我們可以在 上定義一個拓撲結構,使得其閉子集恰為形如 的子集,稱之扎里斯基拓撲

一般而言,扎里斯基拓撲並不滿足豪斯多夫性質

結構層编辑

考慮扎里斯基拓撲下的下述預層

 

 為其層化,稱作 結構層。顯然有 ,故 構成一個局部賦環空間。

一個元素 給出 的截面,事實上可以證明 

交換環譜間的態射编辑

 為交換環, 為一同態,則可定義一個映射 ,這是從  的連續映射,在結構層上則以 定義 ,那麼 給出局部賦環空間的態射。

反之,任何仿射概形間的態射皆由此唯一地給出。上述對應遂建立起交換環的反範疇與仿射概形範疇的等價性。

古典觀點编辑

 為代數封閉域,給定 (i=1,2,...),則方程組 定義一個代數簇 

  。根據希爾伯特零點定理 的點一一對應到 的極大理想。

一般而言, 內的元素一一對應到 內的不可約閉集。考慮全體素理想的好處之一,在於可以藉此在概形上運用安德烈·韋伊的一般點(generic point)理論;此外,環同態不一定將極大理想拉回到極大理想,除非該環是 Jacobson 環。

 的拓撲結構僅涉及  裡的冪零元素看似無幾何意義,但它們在研究無窮小變化及態射的纖維上功效至大。

參見编辑