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皮亚诺公理

公理系統
(重定向自皮亚诺算术

皮亚诺公理英语:Peano axioms義大利語Assiomi di Peano),也称皮亚诺公设,是意大利数学家朱塞佩·皮亚诺提出的关于自然数的五条公理系统。根据这五条公理可以建立起一阶算术系统,也称皮亚诺算术系统。

目录

内容编辑

皮亚诺的这五条公理用非形式化的方法叙述如下:

  1. 0是自然数
  2. 每一个确定的自然数a,都有一个确定的后继数a' a' 也是自然数;
  3. 对于每个自然数bcb=c当且仅当b的后继数=c的后继数;
  4. 0不是任何自然数的后继数;
  5. 任意关于自然数的命题,如果证明:它对自然数0是真的,且假定它对自然数a为真时,可以证明对a' 也真。那么,命题对所有自然数都真。

其中,一个数的后继数指紧接在这个数后面的数,例如,0的后继数是1,1的后继数是2等等;公理5保证了数学归纳法的正确性,从而被称为归纳法原理。

若不将0视作自然数,则公理1,4,5中的“0”要换成“1”。

更正式的定义如下:

一个戴德金-皮亚诺结构为一满足下列条件的三元组(X, x, f):

  • X是一集合,xX中一元素,fX到自身的映射。
  • x不在f的值域内。(對應上面的公理4)
  • f为一单射。(對應上面的公理3)
  • AX的子集并满足:
    • x属于A,且
    • a属于A,则fa) 亦属于A
A = X

正式定义可以用谓词逻辑表示如下:

戴德金-皮亚诺结构可以描述为满足所有以下条件的三元组 (S, f, e)

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皮亚诺算术编辑

皮亚诺算术(PA)的公理:

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  •  ,对于在 PA 的语言中的任何公式  
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参考文献编辑

参见编辑