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四库全书知不足斋丛书《益古演段》书影

益古演段》是李冶的一部数学著作。“益古”指蒋周的《益古集》,“演段”指蒋周的算书《益古集》中的条段法。基本上都是已知平面图形的面积,求圆的半径、正方形的边长和周长等等。书中先用天元术建立方程(多数是二次方程),再用条段法旁证。

题目的格式,分四部分:“法曰”、“条段图”、“依条段求之”、“义曰”、和“旧术曰”。

  • 法即天元法,
  • 条段图和条段法是蒋周《益古集》的方法,
  • 义就是文字说明,
  • 旧术是《益古籍》中的方法,
  • 依条段求之指用条段法证明天元术。

四库全书所收知不足斋丛书《益古演段》三卷,一共64问。

目录

卷上编辑

卷上 第一问至第二十二问,全是关于正方形和圆形的问题。

例子:第八问:今有方田一段,内有园池水占之。外有地一十三亩七分半。只云内外方圆周共相和,得三百步。问方圆周各多少?

答曰:外方周二百四十步,内圆周六十步。

法曰:立天元一为圆径,以三之为圆周,以减共步,得

   
 

为方周,以自增乘,得

     
      (天元:相当于未知数 x)
 

十六段方田积于头,再立天元圆径以自之又十二之,得

 
 
  

为十六个圆池积以减头位得

     
    
 

为十六段如积,寄左然后列真积一十三亩七分半,以亩法通之得五万二千八百步,与左相消得

     
    
 

开平方为圆池径,又三之为圆池周。

卷中编辑

第二十三问至第四十二问,共20 问,解长方形和圆形的问题。

例题:第三十六问

今有圆田一段,中有直池水占之,外计地六千步。只云从内池四角斜至四楞各一十七步半。其内池长阔共相和得八十五步。问三事各多少?

答曰外田径一百步,池长六十步,阔二十五步。

法曰 (天元术):立天元一位内池斜角,加二倍池角到圆池的距离为圆的直径

圆直径:

   太 (常数项)
  (天元:相当于未知数 x)

圆直径= x+35


将近似圆周率 3 乘圆直径的平方 得圆面积的四倍=  = 3  =  

四段圆面积:

     太(常数项)
    元(x)
  项)

四段圆面积减去四倍土地面积得池面积的四倍= - 4 x 6000 = 

四段池积:

     
    元(x)
  项)

池长阔之和 85的平方

     (7225)

等于 四段池面积加 一段较(水池长与阔之差)幂(平方)

又二段池面积 加一段较幂 等于 长的平方加阔的平方 等于

水池对角线幂(对角线长度的平方):

 
  元 (x)
  

(四池积 + 较幂) -(二池积+ 较幂) = 二池积 = 7225- 

     (7225)
 
 

二段池积 乘二 = 四段池积:

     
 
 

与上四段池积:

     
    元(x)
  项)

合并得一元二次方程式  :

     
   
 

解之得池对角线长度为65步

圆直径= 65 + 2 * 17.5 = 65+35=100

较 = 长 - 阔 =35步 长 +阔 =85

由此 池长=60 步 池阔 =25 步

卷下编辑

第四十三问至第六十四问,共22 问,是关于比较复杂的图形。

第五十四问:今有方田一段,内有直池结角占之;外计地一千一百五十步只云从田角至水两边各一十四步,一十九步;问三事各多少?

答曰:方四十五步,池长三十五步,阔二十五步。


法曰:设天元一为池阔:x

 
 

池阔加田角到池边距离的2倍 (38步)等于 方田对角线的长度:x+38

  
 

取平方得展田(以方田对角线为边的正方形)面积  

    
  
 
又池长-池阔 = 2 (19-14) = 10

池长 = 池阔 +10:x+10

  
 

池面积 = 池阔 乘 池长:x(x+10) = 

 
  
 

池面积 乘 1.96 (   的平方 =1.96) 得  

   
    

展田面积 - 池面积 乘 1.96得地积乘1.96:

  -   
    
   
   

占地 乘 1.96 =1150 * 1.96 =2254= 

由此得 = 

   
   
   

解方程得 池阔 25步 由此得 池长 =池阔 +10 =35步 放田边长 =45 步




李冶在出版《测圆海镜》之后,撰写《益古演段》,将抽象的代数方法(天元术)和直观性强的几何方法(条段法)相结合来阐述问题,图文并茂,便于学习天元术,使此书成为当时受人们欢迎的数学教材。蒋周的《益古集》已失传,《益古演段》成为保留最详尽的条段法资料的文献。

1902年英国伦敦会传教士伟烈亚力在1902年上海出版的《中国典籍扎记》简略地介绍了《益古演段》[1].

1913年法国赫师慎(van Hée)将《益古演段》64问翻译成法文,发表在通报上。[2] 1984年新加坡大学蓝丽蓉马来西亚洪天赐发表英文论文题为《李冶及其益古演段》。

參考文獻编辑

引用编辑

  1. ^ Alexander Wylie, Notes on Chinese Literature, p117; 1902, Shanghai
  2. ^ van Hée Li Yeh, Mathématicien Chinois du XIIIe siècle, TP,1913,14,537

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