直言三段论是所有前提都是直言命题演绎推理。前兩個命題被分别称为大前提小前提[1]。如果這個三段論是有效的,這兩個前提邏輯上蕴涵了最後的命題,它叫做結論。結論的真實性建立在前提的真實性和它們之間的聯繫之上:中項在前提中必須周延(distribute)至少一次,形成在結論中的主詞和謂词之間的連接。例如:

所有生物都會死。
所有人都是生物。
所以,所有人都會死。

這裡的中項“生物”在大前提中周延,小項“人”在小前提和結論中周延,大項“會死者”在前提和結論中都不周延。一些直言三段論不是有效的,例如:

所有鳥都有翅膀。
所有人都不是鳥。
所以,没有人有翅膀。

即使此例子的兩個前提和結論都是正確的,中項“鳥”在大前提和小前提中周延,小項“人”在小前提和結論中周延,大項“有翅膀者”在結論中周延;此三段論卻是一種大項不當謬誤,比如將小項換爲“昆蟲”即顯而易見;其原因是在結論中周延的詞項,在前提中也必須周延。

语气和格式

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對立四邊形圖,揭示傳統邏輯四種命題語氣的關係,紅色表示非空,黑色表示空。

三段論有如下典型形式:

大前提:所有M是P。
小前提:所有S是M。
結論:所有S是P。

其中S代表結論的主詞Subject),P代表結論的謂詞Predicate),M代表中詞(Middle)。

三段論的命題可分為全称(universal)、特称(particular),及肯定、否定,組合起來有以下四類語氣(Mood):

類型 代號 形式 範例
全稱肯定型 A(SaP) 所有S是P 所有人是會死的
全稱否定型 E(SeP) 沒有S是P 沒有人是完美的
特稱肯定型 I(SiP) 有些S是P 有些人是健康的
特稱否定型 O(SoP) 有些S不是P 有些人不是健康的

三段論中,結論中的謂詞稱作大詞(P,或稱大項),包含大詞在內的前提稱作大前提;結論中的主詞稱作小詞(S,或稱小項),包含小詞在內的前提稱作小前提;沒有出現在結論,卻在兩個前提重複出現的稱作中詞(M,或稱中項)。大詞、中詞、小詞依不同排列方式,可分成四種(Figure):

第1格 第2格 第3格 第4格
大前提 M-P P-M M-P P-M
小前提 S-M S-M M-S M-S
結論 S-P S-P S-P S-P

將以上整合在一起,三段論的大前提、小前提、結論分別可為AEIO型命題之一,又可分為4格,故總共有256種三段論(若考慮大前提與小前提對調,便有512種,但邏輯上是相同的)。

三段論依語氣與格的分類縮寫,例如AAA-1(也可以寫成1-AAA)代表「大前提為A型,小前提為A型,結論為A型,第1格」的三段論。

此外,三段論的四種格之间可相互转换:

  • 第1格:对换大前提的主词和谓词的位置就变成第2格,对换小前提的主词和谓词的位置就变成第3格。
  • 第2格:对换大前提的主词和谓词的位置就变成第1格,对换小前提的主词和谓词的位置就变成第4格。
  • 第3格:对换大前提的主词和谓词的位置就变成第4格,对换小前提的主词和谓词的位置就变成第1格。
  • 第4格:对换大前提的主词和谓词的位置就变成第3格,对换小前提的主词和谓词的位置就变成第2格。

EI命题对换主词和谓词的位置而保持同原命题等价。A命题和O命题不能对换主词和谓词的位置,但是可以采用直接推理中的“对置法”。A命题还可以在确实主词有元素存在的前提下,转换成弱于原命题的I命题后再对换主词和谓词的位置。

有效性

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考虑各种直言三段论的有效性將是非常冗长耗時的。前人想出了三个可供选择的方法来找出有效性。方法之一是记住下一章节中列出的所有論式。

還可以通过构造文氏图的方法得到有效形式。因为有三种项,文氏图需要三个交叠的圓圈来表示每一个类。首先,为小项构造一个圓圈。临近小项的圓圈的是同小項有着交叠的大项的圓圈。在这两个圓圈之上是中项的圓圈。它应当在三个位置有着交叠:大项,小项和大项与小项交叠的地方。一個三段论是有效的,其必然条件是通过图解两个前提得出结论的真实性。永不图解结论,因为结论必须从前提推导出来。总是首先图解全称命题。这是通过对一个类在另一个类中没有成员的区域加黑影来实现的。所以在前面例子的AAA-1形式中大前提“所有M是P”中,对M不与P交叠的所有区域加黑影,包括M与S交叠的部分。接着对小前提重复同样的过程。从这两个前提中可推导出在类S中所有成员也是类P的成员。但是,不能推出类P的所有成员都是类S的成员。

 

作为文氏圖方法的另一个例子,考虑形式EIO-1的三段论。它的大前提是“没有M是P”,它的小前提是“有些S是M”,它的结论是“有些S不是P”。这个三段论的大项是P,它的小项是S,它的中项是M。大前提在图中通过对交集M ∩ P加阴影表示。小前提不能通过对任何区域加黑影表示。转而,我们可以在交集S ∩ M的非黑影部分使用x符号来表示“有些S是M”。(注意:黑影区域和存在量化区域是互斥的)。接着因为存在符号位于S内但在P外,所以结论“存在一些S不是P”是正确的。

 

本文最後一節列出了所有24個有效論式的文氏圖。

最后一种方法是记住下面非形式表述的幾條规则以避免謬論。尽管文氏图对于诠释目的是好工具,有人更喜欢用這些规则来检验有效性。

基本規則:

  1. 結論中周延的詞必須在前提中周延(謬誤:大詞不當小詞不當)。
  2. 中詞必須周延至少一次(謬誤:中詞不周延)。
  3. 結論中否定命題的數目必須和前提中否定命題的數目相等:
    1. 二前提皆肯定,則結論必須為肯定(謬誤:肯定前提推得否定結論)。
    2. 一前提是否定,則結論必須為否定(謬誤:否定前提推得肯定結論)。
    3. 二前提皆否定,則三段論必無效(謬誤:排它前提謬誤)。
  4. 結論中特稱命題的數目必須和前提中特稱命題的數目相等:
    1. 二前提皆全稱,則結論必須為全稱。
    2. 一前提是特稱,則結論必須為特稱。
    3. 二前提皆特稱,則三段論必無效。

若一個三段論式滿足以上的所有規則,就必定有效。

其他檢查:

  • 如果語境上不能假設所有提及的集合非,部分推論將會無效(謬誤:存在謬誤)。
  • 必須包含嚴格的三個詞,不多不少。且須注意所有關鍵詞和結構的語義是否一致(謬誤:四詞謬誤歧義謬誤)。

有效三段論式

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唯有第一格的所有有效三段論式的結論涵蓋了AEIO全部四種命題,第二格的所有有效三段論式皆為否定結論(EO),第三格的所有有效三段論式皆為特稱結論(IO),第四格的所有有效三段論式皆為否定結論或特稱結論(EIO)。下面表格中加下劃線者必須假設所有提及的集合非空才有效。

第1格 第2格 第3格 第4格
AAA AEE AAI AAI
EAE EAE EAO EAO
AII AOO AII AEE
EIO EIO EIO EIO
AAI AEO IAI IAI
EAO EAO OAO AEO

在全部256種三段論式中,有24種有效,但是如果不能確定所有提及的集合為非空,則只有15種有效。

常犯的無效三段論式

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1-AEE, 1-AEO, 1-EEA, 1-EEE, 1-EEI, 1-AIA, 1-IAA, 1-IAI, 1-III, 1-AOO, 1-OAO, 1-IEO
2-AAA, 2-AAI, 2-AII, 2-IAI, 2-OAO, 2-IEO, 2-EOI, 2-OEI, 2-IOO, 2-OIO
3-AAA, 3-AEE, 3-EAE, 3-AEO, 3-AOO, 3-AIA, 3-IAA, 3-III, 3-EOI, 3-OEI, 3-IEO
4-AAA, 4-EAE, 4-AII, 4-IEO

三段论式列表

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总共有19个有效的论式,算结论弱化(全称弱化为特称)的5个论式則為24個有效论式,其中每一格刚好各有6個有效论式。為便於記憶,中世纪的学者將這些有效論式分別取了對應的拉丁語名字,每個名字的加了下劃線的元音即是對應的語氣:

第1格 第2格 第3格 第4格
Barbara Camestres Darapti Bamalip
Celarent Cesare Felapton Fesapo
Darii Baroco Datisi Calemes
Ferio Festino Ferison Fresison
Barbari Camestros Disamis   Dimaris
Celaront Cesaro Bocardo Calemos

经典三段论式

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下面列出的是亚里士多德的《前分析篇》中关于前3个格的14个三段论式。

第1格

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  • AAA(Barbara)

 所有M是P。
 所有S是M。
所有S是P。

 

  • EAE(Celarent)

 没有M是P。
 所有S是M。
没有S是P。

 

  • AII(Darii)

 所有M是P。
 有些S是M。
有些S是P。

 

  • EIO(Ferio)

 没有M是P。
 有些S是M。
有些S不是P。

 

第2格

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  • AEE(Camestres)

 所有P是M。
 没有S是M。
没有S是P。

 

(AEE-2是AEE-4的等价形式。这种形式还有其他推导方法。)[2]

  • EAE(Cesare)

 没有P是M。
 所有S是M。
没有S是P。

 

(EAE-2是EAE-1的等价形式。)

  • AOO(Baroco)

 所有P是M。
 有些S不是M。
有些S不是P。

 

(这种形式还有其他推导方法。)[3]

  • EIO(Festino)

 没有P是M。
 有些S是M。
有些S不是P。

 

(EIO-2是EIO-1的等价形式。)

第3格

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  • AAI(Darapti)

 所有M是P。
 所有M是S。
有些S是P。
(这种形式需要假定有些M确实存在。)[4]

 

  • EAO(Felapton)

 没有M是P。
 所有M是S。
有些S不是P。
(这种形式需要假定有些M确实存在。)[5]

 

  • AII(Datisi)

 所有M是P。
 有些M是S。
有些S是P。

 

(AII-3是AII-1的等价形式。)

  • EIO(Ferison)

 没有M是P。
 有些M是S。
有些S不是P。

 

(EIO-3是EIO-1的等价形式。)

  • IAI(Disamis)

 有些M是P。
 所有M是S。
有些S是P。

 

(IAI-3是IAI-4的等价形式。)

  • OAO(Bocardo)

 有些M不是P。
 所有M是S。
有些S不是P。

 

(这种形式还有其他推导方法。)[6]

增补的论式

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第4格由亞里士多德的學生泰奧弗拉斯托斯補充[7]

第4格

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  • AAI(Bamalip)

 所有P是M。
 所有M是S。
有些S是P。
(这种形式需要假定有些P确实存在。)

 

  • EAO(Fesapo)

 没有P是M。
 所有M是S。
有些S不是P。

(这种形式需要假定有些M确实存在。)[8]

 

(EAO-4是EAO-3的等价形式。)

  • AEE(Calemes)

 所有P是M。
 没有M是S。
没有S是P。

 

  • EIO(Fresison)

 没有P是M。
 有些M是S。
有些S不是P。

 

(EIO-4是EIO-1的等价形式。)

  • IAI(Dimaris)

 有些P是M。
 所有M是S。
有些S是P。

 

结论弱化的论式

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歷史上,AAI-3、EAO-3、AAI-4、EAO-4的拉丁語名字中有字母“p”,用来指示出这些论式通過引入了某个词项确实有元素存在的前提,将一个A命题弱化成了I命题。后人认为它們不是直言的即不是无条件的,这个问题被称为存在性引入问题

在假定结论的主词确定有成员存在的前提下,可将论式中的结论A弱化为结论I,结论E弱化为结论O,它们也可以被增补为有效论式,从而得到所有可能的24有效论式。结论弱化论式有5个:AAI-1(Barbari),即弱化的AAA-1;EAO-1(Celaront),即弱化的EAE-1;AEO-2(Camestros),即弱化的AEE-2;EAO-2(Cesaro),即弱化的EAE-2;AEO-4(Calemos),即弱化的AEE-4。AAI-1的结论同于AII-1的结论,EAO-1、EAO-2的结论同于EIO-1的结论,AEO-2、AEO-4的结论同于AOO-2的结论,需要注意结论弱化论式原来的结论依然成立。

谓词演算公式的注解

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按照布尔逻辑集合代数的观点,三段论可以解释为:集合 和集合 有某种二元关系,并且集合 和集合 有某种二元关系,从而推论出集合 和集合 是否存在进而为何种可确定的二元关系。两个集合之间的二元关系用直言命题可确定的有四种:

  • A(全称肯定)命题:所有 的元素是 的元素,确定了 包含于” 的关系,  子集  超集,这是一种偏序关系 包含于 ,並且 包含于 ,則 包含于 A命题允许两个推理方向,从元素属于 推出它属于 ,从元素不属于 推出它不属于 A命题确定了  差集空集
  • E(全称否定)命题:所有 的元素不是 的元素,确定了  是“无交集”的关系,这是一种对称关系 无交集于 ,同于 无交集于 E命题允许两个推理方向,从元素属于 推出它不属于 ,从元素属于 推出它不属于 E命题确定了  交集空集
  • I(特称肯定)命题:有些 的元素是 的元素,确定了  是“有交集”的关系,这是一种对称关系 有交集于 ,同于 有交集于 I命题确定了  交集不是空集
  • O(特称否定)命题:有些 的元素不是 的元素,确定了 “不包含于” 的关系。O命题确定了  差集不是空集

两个全称命题可以推出一个新的全称命题,一个全称命题和一个特称命题可以推出一个新的特称命题,两个特称命题无法推理。A命题可以和所有四种命题組合。E命题还可以和I命题組合,两个否定命题和IE组合,不能得出屬於四種命題之一的結論。故而有效的論式,要在AAAEEAAIIAAOOAEI這8種組合乘以4種格,共32種情況中找出。

AA组合中AAA-1是直接推出的;第4格AA組合推论出谓词包含於主词的关系,这不是四种命题之一,只能在谓词确实有元素存在的前提下弱化为AAI-4。AE组合中AEE-4是直接推出的,EA组合中EAE-1是直接推出的。第3格AA組合和EA組合,在中項確定有元素存在的前提下,形成AAI-3和EAO-3。AAA-1、AAI-4、AAI-3没有等价者。通過對換其前提E命題中主詞和謂詞的位置,從AEE-4得出其等價者AEE-2,從EAE-1的得出其等價者EAE-2,從EAO-3得出其等價者EAO-4。

AII-1、IAI-4是直接推出的,通過對換其前提I命題中主詞和謂詞的位置,從AII-1得出其等價者AII-3,從IAI-4得出其等價者IAI-3。AOO-2和OAO-3在歷史上採用了反證法,这里采用了直接推理中的“对置法”,AOO-2、OAO-3沒有等價者。EIO-1是直接推出的,通過對換其前提E命题及/或英语And/orI命題中主詞和謂詞的位置,從EIO-1得出其等價者EIO-2、EIO-3、EIO-4。

24論式圖示

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下表以文氏圖展示24個有效直言三段論,不同欄表示不同的前提,不同外框顏色表示不同的結論,需要存在性預設的推理以虛線與斜體字標示。

AA AE AI AO EI
AAA AAI AEE AEO EAE EAO AII IAI AOO OAO EIO
1  
Barbara
 
Barbari
 
Celarent
 
Celaront
 
Darii
 
Ferio
2  
Camestres
 
Camestros
 
Cesare
 
Cesaro
 
Baroco
 
Festino
3  
Darapti
 
Felapton
 
Datisi
 
Disamis
 
Bocardo
 
Ferison
4  
Bamalip
 
Calemes
 
Calemos
 
Fesapo
 
Dimatis
 
Fresison

参见

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註解

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  1. ^ 中国社会科学院语言研究所词典编辑室. 现代汉语词典 2016年9月第七版. 商务印书馆. 2016: 1121-1122 [2020-07-05]. ISBN 978-7-100-12450-8 (中文(大陆简体)). .......【三段论】.......由大前提和小前提推出结论。如“凡金属都能导电”(大前提),“铜是金属”(小前提),“所以铜能导电”(结论)。....... 
  2. ^ 这个论式还可以推导为:
     
  3. ^ 这个论式还可以采用反证法来推导:
     
  4. ^ 直接結論是:所有M是P且S。
     
  5. ^ 直接結論是:所有M是S且非P。
     
  6. ^ 这个论式还可以采用反证法来推导:
     
  7. ^ 亞里士多德前分析篇》裡關於AEE-2的論證中,對小前提進行對換主詞與謂詞位置之後,得出第4格的AEE-4,亞里士多德稱之為再次得到了第1格,沒有因為大項和小項位置顛倒而專門稱之為第4格。在亞里士多德的定義中第1格為中項既是一個前提的主詞又是另一個前提的謂詞。第4格中有4個論式是其他格的等價形式、1個論式是結論弱化形式,因此亞里士多德三段論體系並無缺失。
  8. ^ 直接結論是:所有M是S且非P。
     

引用

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外部連結

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