真因數和

在數論中,整數真因數和又稱真因子和是指該整數的所有真因數之和,即除了自己本身外的所有正因數之和,通常以來表示:

真因數和函數的圖形

真因數和可以用來描述質數完全数亏数过剩数不可及数,也可以用於定義整數的真因數和數列

真因數和函數與1次除數函數的關係僅差[1]

例子编辑

以12為例,12的真因數(即除了自己本身外的所有正因數)有12346,則其真因數和為 

前幾個整數的真因數和 n = 1, 2, 3, …… 為:[1]

0、 1、 1、 3、 1、 6、 1、 7、 4、 8、 1、 16、 1、 10、 9、 15、 1、 21、 1、 22、 11、 14、 1、 36、 6、 16、 13、 28、 1、 42、 1、 31、 15、 20、 13、 55、 1、 22、 17、 50、 1、 54、 1、 40、 33、 26、 1、 76、 8、 43、 21 …… (OEIS數列A001065

數字類別的性質编辑

真因數和函數可以用來區分幾個特別的數字類別:

  • 1是唯一一個真因數和為0的正整數。如果一個正整數真因數和為1則代表該數是一個質數[2]
  • 完全数的真因數和等於本身、亏数的真因數和小於本身、过剩数的真因數和大於本身[2]。准完全数(如果存在的話)真因數和為n+1。殆完全數(目前已知僅有2的冪)真因數和為n-1。
  • 不可及数是指不是任何數之真因數和的數。相關研究至少可以追溯到大約公元1000年伊本·塔希爾·巴格達迪英语Abu Mansur al-Baghdadi的研究,其發現2和5都是不可及數[2][3]埃尔德什·帕尔證明了其有無限多個[4]。目前尚未確定5是否為唯一的奇數不可及數,但可以從哥德巴赫猜想的一種形式與半素数pq的真因數和為p+q+1的觀察得出[2]

數學家保羅·波拉克(Paul Pollack)和卡爾·帕梅朗斯英语Carl Pomerance指出,埃尔德什·帕尔「最喜歡的研究項目」是真因數和。[2]

疊代编辑

疊代真因數和函數可以產生非負整數的真因數和數列n, s(n), s(s(n)), ...(在這個數列中,我們定義s(0) = 0)。目前尚不清楚這些數列是否總是以質數完全数或周期性的相亲数链為結尾。[5]

參見编辑

參考文獻编辑

  1. ^ 1.0 1.1 Weisstein, Eric W. (编). Restricted Divisor Function. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. (英语). 
  2. ^ 2.0 2.1 2.2 2.3 2.4 Pollack, Paul; Pomerance, Carl, Some problems of Erdős on the sum-of-divisors function, Transactions of the American Mathematical Society, Series B, 2016, 3: 1–26, MR 3481968, doi:10.1090/btran/10 
  3. ^ Sesiano, J., Two problems of number theory in Islamic times, Archive for History of Exact Sciences, 1991, 41 (3): 235–238, JSTOR 41133889, MR 1107382, doi:10.1007/BF00348408 
  4. ^ Erdős, P., Über die Zahlen der Form   und   (PDF), Elemente der Mathematik, 1973, 28: 83–86 [2022-09-22], MR 0337733, (原始内容存档 (PDF)于2022-08-05) 
  5. ^ Weisstein, Eric W. (编). Catalan's Aliquot Sequence Conjecture. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. (英语). 

外部連結编辑