矩阵的平方根

数学中,矩阵的平方根是算术中的平方根概念的推广。对一个矩阵A,如果矩阵B满足

那么矩阵B就是A的一个平方根。

计算编辑

与算术中的平方根概念不同,矩阵的平方根不一定只有两个。然而依照矩阵平方根的概念以及矩阵乘法的定义,只有方块矩阵才有平方根。[1]

对角化算法编辑

如果矩阵的系数域是代数闭域,比如说复数 的时候,对于一个对角矩阵,其平方根是很容易求得的。只需要将对角线上的每一个元素都换成它的平方根就可以了。这种思路可以推广到一般的可对角化矩阵。一个所谓的可对角化矩阵A是指可以通过相似变换成为对角矩阵D的矩阵:

 

其中的矩阵P可逆的矩阵。在这种情况之下,假设矩阵D的形式是:

 

那么矩阵A的平方根就是:

 

其中的 是:

 [2]

丹曼-毕福斯迭代算法编辑

另一种计算矩阵平方根的方法是丹曼-毕福斯迭代算法。在计算一个 矩阵A的平方根时,先设矩阵    单位矩阵)。然后用以下的迭代公式计算矩阵序列  

 
 

这样的两个序列将会收敛到两个矩阵  上。其中 将会是矩阵的平方根,而 将是 的逆矩阵。

参见编辑

参考来源编辑

  1. ^ (中文)张贤达. 矩阵分析与应用. 清华大学出版社. 2008. ISBN 7302092710. ,第152页
  2. ^ (英文)Alvin C. Rencher. Methods of Multivariate Analysis, 2nd Edition. Wiley-Interscience. 2002. ISBN 978-0-471-41889-4. ,第36页