秩 (微分拓撲)

數學上,一個可微映射f : MN在一點p,是f導函數。映射f在點p的導數是一個線性映射

從點p切空間到點f(p)的切空間。因為是向量空間之間的線性映射,故其秩有明確定義,即是Tf(p)N維數

常秩映射编辑

可微映射f : MN稱為有常秩,落f的秩在M中每一點p都相同。常秩映射有一些很好的性質,是微分拓撲中的重要概念。

有三類特別的常秩映射:一個常秩映射f : MN

以上的條件只牽涉到f的導函數的性質,不要求映射f是單射、滿射或雙射。例如有一些映射是單射卻非浸入,或是浸入卻非單射。不過若f : MN是常秩光滑映射,則

  • f是單射,則是浸入;
  • f是滿射,則是浸沒;
  • f是雙射,則是微分同胚

常秩映射可以用局部座標系得出一個好的描述。設MN是光滑流形,維數分別為mn,映射f : MN是光滑映射,並有常秩k。那麼對M中每一點p,都存在以p為中心的局部座標(x1, ..., xm),及以f(p)為中心的局部座標(y1, ..., yn),使得f用這些座標可以表示為:

 

參考编辑

  • Lee, John. Introduction to Smooth Manifolds. Graduate Texts in Mathematics 218. New York: Springer. 2003. ISBN 978-0-387-95495-0.