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积分因子是一种用来解微分方程的方法。

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方法编辑

考虑以下形式的微分方程:

 

其中  的未知函数,  是给定的函数。

我们希望把左面化成两个函数的乘积的导数的形式。

考虑函数 。我们把(1)的两边乘以 

 

如果左面是两个函数的乘积的导数,那么:

 

两边积分,得:

 

其中 是一个常数。于是,

 

为了求出函数 ,我们把(3)的左面用乘法定则展开:

 

与(2)比较,可知 满足以下微分方程:

 

两边除以 ,得:

 

等式(5)是对数导数的形式。解这个方程,得:

 

我们可以看到, 的性质在解微分方程中是十分重要的。 称为积分因子

例子编辑

解微分方程

 

我们可以看到, 

 
 
 

两边乘以 ,得:

 
 

 

可得

 

一般的应用编辑

积分因子也可以用来解非线性微分方程。例如,考虑以下的非线性二阶微分方程:

 

可以看到, 是一个积分因子:

 

利用复合函数求导法则,可得:

 

因此

 

利用分离变量法,可得:

 

这就是方程的通解。

参见编辑

参考文献编辑

  • Adams, R. A. Calculus: A Complete Course, 4th ed. Reading, MA: Addison Wesley, 1999.