积分判别法

(重定向自積分檢驗

当f(x)非负递减时,級數收歛当且仅当積分有限。

它最早可追溯到14世紀印度數學家Madhava和他的Kerala學派[來源請求]在歐洲17、18世紀,馬克勞林奧古斯丁·路易·柯西重新發現了這個方法。

证明编辑

考虑如下积分

 

注意 单调递减,因此有:

 

进一步地,考虑如下求和:

 

中间项的和为:

 

对上述不等式取极限 ,有:

 

因此,若积分 收敛,则无穷级数 收敛;若积分发散,则此级数发散。

例子编辑

调和级数

 

是发散的,因为它的原函数是自然对数

 ,当 时。

而以下的级数

 

则对所有的ε > 0都是收敛的,因为:

 ,对于所有 

參考编辑

  • Knopp, Konrad, "Infinite Sequences and Series", Dover publications, Inc., New York, 1956. (§ 3.3) ISBN 0486601536
  • Whittaker, E. T., and Watson, G. N., A Course in Modern Analysis, fourth edition, Cambridge University Press, 1963. (§ 4.43) ISBN 0521588073