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数学中,两个集合笛卡儿积(英語:Cartesian product),又称直积,在集合论中表示为,是所有可能的有序对組成的集合,其中有序對的第一个对象是的成员,第二个对象是的成员。

舉個實例,如果集合是13个元素的点数集合,而集合是4个元素的花色集合♠, ♥, ♦, ♣,则这两个集合的笛卡儿积是有52个元素的标准扑克牌的集合

笛卡儿积得名于笛卡儿,因為這概念是由他建立的解析几何引申出來。

笛卡儿积的性质编辑

易见笛卡儿积满足下列性质:

  • 对于任意集合 ,根据定义有 
  • 一般来说笛卡儿积不满足交换律结合律
  • 笛卡儿积对集合的满足分配律,即
 
 
 
 
 

笛卡儿平方和n元乘积编辑

集合 笛卡儿平方(或二元笛卡儿积)是笛卡儿积 。一个例子是二维平面 ,(这里 实数集) - 它包含所有的点 ,这里的  是实数(参见笛卡儿坐标系)。

为了幫助枚舉,可绘制一个表格。一个集合作为行而另一个集合作为列,从行和列的集合选择元素,以形成有序对作为表的单元格。

可以推广到在 个集合 上的n-元笛卡儿积:

 

实际上,它可以被等同为 。它是n-元组的集合。

一个例子是欧几里得三维空间 ,这里的 同樣是指实数集。

无穷乘积编辑

对最常用的数学应用而言,上述定义通常已經足夠。但是,也可以在任意(可能无限)的集合的搜集上定义笛卡儿积。如果 是任何指标集合,而

 

是由 索引的集合的搜集,则我们定义

 

就是定义在索引集合上的所有函数的集合,使得这些函数在特定索引 上的值是 的元素。

对在 中每个 ,定义自

 

的函数

 

叫做 投影映射

n-元组可以被看作在 上的函数,它在 上的值是这个元组的第 个元素。所以,在  的时候,这个定义跟有限情况的定义是一致的。在无限情况下这个定义給出的是集合族

在无限情况,一個令人熟悉的特例是,當索引集合是自然数集 的时候:这正是其中第i项对应于集合 的所有无限序列的集合。再次, 提供了这样的一个例子:

 

是实数的无限序列的搜集,可視之为带有無限個构件的向量或元组。另一个特殊情况(上述例子也满足它)是在乘积中的各因子Xi都是相同的时候,类似于“笛卡儿指数”。這樣,在最先定义中的无限并集自身就是这个集合自身,而其他条件被平凡的满足了,所以这正是从IX的所有函数的集合。

在別的情況,无限笛卡儿积就不那麼直觀了;尽管在高等数学中的應用有其价值。

“非空集合的任意非空搜集的笛卡儿积为非空”這一陳述等价于选择公理

函数的笛卡儿积编辑

如果 是从  的函数,而 是从  的函数,则它们的笛卡儿积 是从  的函数,带有

 

跟之前類似,函数的笛卡儿积也可以扩展到函数的元组和无限情況。

参见编辑

外部链接编辑