濫用符號

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數學中,濫用符號(英語:Abusing notation[註 1])雖然不嚴格,並非按數學符號的字面定義來運用,但有時能使數學論證更清晰,或引導讀者明白其直觀意義英语Mathematical intuition,同時減少犯錯和增進理解。不過,符號是否嚴格使用,或句法英语syntax (logic)上是否正確,很視乎時代和學科背景。某些用法,在某些場合算為濫用,在另一種背景下卻是嚴格正確。某理論在嚴格化前,若已引入新的符號,則該些符號是否屬濫用,就可能取決於時代,因為有時該理論發展後,邏輯根基得到鞏固,統一符號用法,而使符號變成嚴格正確。濫用符號不等於誤用符號,因為前者是表意與嚴格性兩方面的取捨,而後者則僅是錯誤,應當避免。誤用積分常數為後者一例[1]

相似的概念是濫用語文(英語:abusing language)或濫用術語(英語:abusing terminology),此時濫用的是詞語,而非符號。例如,「表示」的正式含義,是由某個 到某向量空間 上的一般線性群 群同態,但經常會將 稱為 的表示。另一個常見濫用,是稱兩個典範同構英语Canonical isomorphism但不相等的物件為等同。[2]類似還有:視常數函數與其值等同、視(一個基集與其上二元運算組成的二元組)與其基集等同、視集合笛卡兒積與三維歐氏空間(配備幾何結構)等同。[3]

集合與映射例子编辑

函數寫法编辑

許多教科書中,會寫「設函數   為⋯⋯(填入關於   的式子)」。此為濫用符號,因為函數的名稱應為  ,而   應表示函數   在其定義域中某處   的取值。嚴格的寫法為:「設   為函數,在   處取值為⋯⋯」或「設   為函數  」此種濫用非常廣泛,[4]因為可簡化寫法,而嚴格的寫法可能顯得過於執着細節。

類似的濫用尚有「考慮函數  ⋯⋯」,因為   並非函數,真正的函數是將   對應到   的運算,用匿名函數的寫法可將該函數寫成  。同樣,此種濫用亦廣泛出現,因為避免拘泥小節,同時一般不會造成混淆。

數學結構编辑

許多數學物件是由一個集合(通常稱為基集,英語:underlying set)及其上的額外結構組成。此種結構可以是數學運算關係拓撲結構。經常濫用同一個符號,同時表示基集及整個數學結構(此現象稱為「壓參數」,英語:suppression of parameters[3])。舉例,  表示整數集,但同時可以表示整數集與加法組成的,還可以是整數集連同加法乘法組成的。一般而言,此類用法中,若所指的物件為所熟知,則不會引起讀者混淆;若刻意避免濫用,反而可能略嫌冗餘,使數學論述更難理解。實在混淆時,可以寫出整個結構以作區分,即以   表示整數的加法群,  表示整數環。

同理,拓扑空间由基集   與拓撲結構   兩部分構成,後者是   若干子集構成的族,該些子集稱為开集。通常,只考慮   上某一個拓撲,於是一經指定,就無需再次提及,可用同一個符號   同時表示基集及   與拓撲結構   組成的二元組,而不引起混淆,即使嚴格而言,兩者為不同的數學物件。不過,有時要同時考慮同一個基集上的兩個拓撲(如拓撲向量空間上的強拓撲英语strong topology弱拓撲英语weak topology,或實數線上的歐氏拓撲下限拓撲),此時則須當心使用結構的全寫,如   ,以作區分。

等價類编辑

等价关系中,元素   所在等价类嚴格地可記為  ,但有時亦濫用符號記為  。此處等價類的意思是,若集合   分劃成等價關係   的等價類,則對每個  ,等價類   記為  。但實用上,若取商集後,餘下討論僅關心等價類,而非原集合的元素,則常會棄用方括號。

例如,模算術中,有等價關係  ,其定義中,  當且僅當  。將整數集按   劃分,可以得到等價類  ,關於加法組成一個   循環群,但實用上,該群的元素常簡記為  

另一個例子是,某測度空間上,可測函數(類)組成的向量空間,或勒貝格可積函數(類)組成的向量空間。此處等價關係為「幾乎處處相等」。

相等抑或同構编辑

許多數學構造是以某性質來刻劃其定義(經常是泛性質),如直積張量積自由積。選定所需性質後,可能有多種方法構造出具該性質的結構,各結構嚴格而言,固然是不同的物件,但因為性質完全一樣(「同构」),不能藉其性質區分各同構物件,即使實際不等亦常逕稱「相等」。[2]

笛卡儿积為例,常以為可結合

 

實則不然,因為若  ,則有序對之間的等式   會推出   ,而   甚至不合式,是句法錯誤。不過,在範疇論中,得以自然變換的概念,將上述「結合律」修正。

類似濫用亦常見於談論結構「個數」的句子。舉例「恰有兩個8階非交換群」嚴格而言可寫作「8階非交換群的同構類英语Isomorphism class恰有兩個」或「不別同構之異,恰有兩種8階非交換群」。

微積分例子编辑

導數编辑

數學分析中,導函數萊布尼茲記法 ,算是濫用了分數符號。此種寫法的好處是,形式上得以沿用分數的運算法則,方便計算,例如複合函數求導的連鎖律,按萊布尼茲記法為:

 

狀似分數乘法。

類似濫用出現於解微分方程分離變數法,常將方程   左邊的導數,如分數般「移項」寫成  ,然後兩邊積分。還有積分記號中,將    看成因子,與   的分子相乘,寫成

 

但在微分形式理論中,有    的嚴格定義,此時,上述寫法不再是濫用。

向量叉積编辑

設實向量   ,則兩者的叉積可用形式行列式定義為:

 

其中頂行的三項是三個方向的單位向量,沿該行用餘子式展開可得結果。此種濫用有助記憶,實際計算亦有用。[5]其所以為濫用,是因為一般僅定義上某矩陣的行列式,但向量   與純量   等不在同一環內(除非考慮幾何代數英语Geometric algebra)。

倒三角算子编辑

倒三角算子   是將偏微分算子組裝成類似向量的形式:

 

以便用向量運算表示梯度  散度  旋度  。但是,倒三角算子並未齊備向量的全部性質,例如與其他向量的內積可換。此觀點下,是濫用向量符號。

大O記號编辑

使用大O符號時,常以   表示「當   充分大英语sufficiently large時,  至多為   的常數倍」。這可以看成濫用了等號,因為如德布魯因英语Nicolaas Govert de Bruijn所言,  [6]

主觀性编辑

一種用法是否屬濫用符號,視乎學科背景和上下文。大部分數學科目中,以   表示偏函數英语partial function,皆算為濫用,但範疇論中則不一定,因為   在集合和偏函數構成的範疇中,確實是态射

評價编辑

尼古拉·布爾巴基在《數學原本》起首的「本書用法」中,稱任何數學書若不濫用語文或符號,則易拘於小節(pédantesque)甚至不堪卒讀(illisible)。[7]陶哲軒認為,論文的嚴格論證中,所用符號應當明確而不含糊,但即使如此,仍允許一定程度的濫用符號。[8]

參見编辑

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  1. ^ 英文常用搭配為"by abuse of notation",意即「藉濫用符號」。

參考資料编辑

  1. ^ Common Errors in College Math [大學數學常犯錯誤]. math.vanderbilt.edu. [2019-11-03]. (原始内容存档于2021-10-04) (英语). 
  2. ^ 2.0 2.1 Glossary — Abuse of notation. www.abstractmath.org. [2019-11-03]. (原始内容存档于2021-12-22). 
  3. ^ 3.0 3.1 More about the languages of math — Suppression of parameters. www.abstractmath.org. [2019-11-03]. (原始内容存档于2021-05-06). 
  4. ^ Abuse of Math Notation. xahlee.info. [2019-11-03]. (原始内容存档于2021-11-20). 
  5. ^ Stewart, James. Multivariable Calculus 6th. Brooks/Cole. 2007: 822–823. ISBN 0-495-01163-0 (英语). 
  6. ^ N. G. de Bruijn. Asymptotic Methods in Analysis. Amsterdam: North-Holland. 1958: 5–7 [2021-11-06]. ISBN 978-0-486-64221-5. (原始内容存档于2021-11-06) (英语). 
  7. ^ Bourbaki, Nicolas. Théorie des ensembles. Éléments de mathématique. : Mode d'emploi de ce traité. doi:10.1007/978-3-540-34035-5 (法语). …, les abus de langage ou de notation, sans lesquels tout texte mathématique risque de devenir pédantesque et même illisible, … 有英譯本
    Bourbaki, Nicolas. Theory of Sets. Elements of Mathematics. doi:10.1007/978-3-642-59309-3 (英语). 
  8. ^ Tao, Terence. Use good notation (網誌). [2021-11-05]. (原始内容存档于2021-11-07) (英语). A certain amount of abuse of notation is permitted, though, as long as this is properly pointed out.