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数学中,假設在一个集合上定義一个等价关系(用來表示),则中的某個元素等价类就是在中等价于的所有元素所形成的子集:

等价类的概念有助于从已经构造了的集合构造新集合。在中的给定等价关系的所有等价类的集合表示为并叫做除以商集。这种运算可以(实际上非常不正式的)被认为是输入集合除以等价关系的活动,所以名字“商”和这种记法都是模仿的除法。商集类似于除法的一个方面是,如果是有限的并且等价类都是等势的,则的序是除以一个等价类的序的商。商集被认为是带有所有等价点都识别出来的集合

对于任何等价关系,都有从的一个规范投影映射,给出为。这个映射总是满射的。在有某种额外结构的情况下,考虑保持这个结构的等价关系,接着称这个结构是良好定义的,而商集在自然方式下继承了这个结构而成为同一个范畴的对象;从映射则是在这个范畴内的满态射。参见同余关系

例子编辑

  • 如果 是轿车的集合,而  是“颜色相同”的等价类,则一个特定等价类由所有绿色轿车组成。  自然的被认同于所有轿车颜色的集合。
  • 考虑在整数集合 上的“ ” ﹝見同餘﹞等价关系:  当且仅当 偶数。这个关系精确的引发两个等价类:  由所有偶数组成, 由所有奇数组成。在这个关系下  都表示 的同一个元素。
  • 有理数可以构造为整数的有序对  的等价类的集合, 不能为零,这里的等价关系定义为
 当且仅当 
这里的有序对  的等价类可以被认同于有理数 
  • 任何函数 定义在X上的等价关系,通过  当且仅当  的等价类是在 中被映射到 的所有元素的集合,就是说,类  逆像。这个等价关系叫做 
  • 给定 子群 ,我们可以定义在 上的等价关系,通过 当且仅当 。这个等价类叫做H在G中的右陪集;其中之一是 自身。它们都有同样数目的元素(在无限 的情况下是)。如果 正规子群,则所有陪集的集合自身是在自然方式下的一个群。
  • 所有群都可以划分成叫做共轭类的等价类。
  • 连续映射 同伦类是所有同伦于 的所有映射的等价类。
  • 自然语言处理中,等价类是对一个个人、位置、事物或事件的所有提及的要么真实要么虚构的集合。例如,在句子“"GE股东将投票公司杰出的CEO Jack Welch的继任者”。“GE”和“公司”是同义的,所以构成一个等价类。对“GE股东”和“Jack Welch”有单独的等价类。

性质编辑

因为等价关系的  中和任何两个等价类要么相等要么不相交的性质。得出X的所有等价类的集合形成 划分:所有 的元素属于一且唯一的等价类。反过来, 的所有划分也定义了在 上等价关系。

它还得出等价关系的性质

 当且仅当 

如果 是在 上的等价关系,而  的元素的一个性质,使得只要 为真如果 为真,则性质 被称为良好定义的或在关系 下“类恒定”的。常见特殊情况出现在 是从 到另一个集合 的时候;如果 蕴涵  被称为在 下恒定的类,或简单称为在 下恒定。这出现在有限群的特征理论中。对函数 的后者情况可以被表达为交换三角关系.参见不變量

参见编辑