打开主菜单

等差数列

(重定向自等差級數

等差数列,又名算术数列(英文:arithmetic sequence 或 arithmetic progression),是数列的一种。在等差数列中,任何相邻两项的差相等,该差值称为公差(common difference)。

例如数列:

3, 5, 7, 9, 11, 13, ...

就是一个等差数列。 在这个数列中,从第二项起,每项与其前一项之公差都等于 2

性質编辑

如果一个等差数列的首项記作 a,公差記作 d,那么该等差数列第 nan 的一般項为:

 

換句話說,任意一個等差数列 {an} 都可以寫成

 


在一個等差數列中,給定任意兩相連項 an+1an ,可知公差

 

給定任意兩項 aman ,則有公差

 


此外,在一個等差数列中,選取某一項,該項的前一項與後一項之和,為原來該項的兩倍。舉例來說,a1 + a3 = 2a2

更一般地說,有:

 

證明如下:

 

證畢。


從另一個角度看,等差數列中的任意一項,是其前一項和後一項的算術平均

 

此結果從上面直接可得。


如果有正整數 m, n, p, q,使得  ,那么则有:

 

證明如下:

 


由此可將上面的性質一般化成:

 
 

其中 k 是一個小於 n 的正整數。


給定一個等差數列  ,則有:

  •   是一個等差數列。
  •   是一個等差數列。
  •   是一個等比數列
  •   是一個等諧數列


從等差數列的一般項可知,任意一個可以寫成

 

形成的數列,都是一個等差數列,其中公差 d = q,首項 a = p + q

等差数列和编辑

一個等差數列的首 n 項之和,稱為等差数列和(sum of arithmetic sequence)或算術級數(arithmetic series),記作 Sn

舉例來說,等差數列 {1, 3, 5, 7} 的和是 1 + 3 + 5 + 7 = 16


等差數列求和的公式如下:

 

等差数列和在中文教科書中常表达为:

一个等差数列的和,等于其首项与末项的和,乘以项数除以2。

公式證明如下:

将等差數列和写作以下两种形式:

 
 

将两公式相加来消掉公差 d,可得

 

整理可得第一種形式。

代入  ,可得第二種及第三種形式。


從上面的第三種形式展開可見,任意一個可以寫成

 

形成的數列和,其原來數列都是一個等差數列,其中公差 d = 2q,首項 a = p + q


等差数列的一些其他性质编辑

如果 ,那么对于等差数列{ },则有:

 

当m≠n时,有   证明如下:

      
     
     
     

等差数列积编辑

一個等差數列的首 n 項之積,稱為等差数列積(product of arithmetic sequence),記作 Pn

舉例來說,等差數列 {1, 3, 5, 7} 的積是 1 × 3 × 5 × 7 = 105


等差数列積的公式较為复杂,須以Γ函數表示:

 

證明如下:

 

這裡的  xn上升阶乘幂,例子如  


使用上面的例子,對於數列 {1, 3, 5, 7}

 

結果相等。

参见编辑

参考文献编辑