简单函数

简单函数又稱單純函數,(英語:simple function),在數學的实分析中是指值域只有有限個值的实函数,類似階梯函數。有些作者要求简单函数是可测的,因為在實際應用上,特別在討論勒貝格積分時,必須是可測函數,要不然積分的定義沒有意義。

一个简单函数的基本例子,是半开区间[1,9)上的取整函数,它唯一的值是{1,2,3,4,5,6,7,8}。一个更加高级的例子是实直线上的狄利克雷函数,如果x是有理数,则函数的值为1,否则为0。


定义编辑

嚴格的講,一个简单函数是可测集合指示函数的有限线性组合。更加精确地,设(X, Σ)为可测空间。设A1,……,An ∈ Σ 皆为可测集合,并设a1,……,an 皆为实数复数。简单函数是以下形式的函数:

 

其中   代表集合 A指示函數

性质编辑

根据定义,两个简单函数的和、差与积,以及一个简单函数与常数的积也是简单函数,因此可推出所有简单函数在复数域上形成了一个交换代数。

在积分的理论的发展中,以下的结果是很重要的。任何非负的可测函数   都會是單調遞增的非負簡單函數序列的逐點極限。事实上,设   为定义在测度空间   上的非负可测函数。对于每一个  ,我们把   的對應域分成  個區間,其中   個區間长度为  (除了   以外,其他區間長度都為  ) 。讓

  以及 

定义可测集合

 ,对于  

則我們定義简单函数   如下

 

如果對每個   都構造如此的函數  ,則我們得到一組單調遞增的簡單函數序列  

  时,這序列會逐点收敛至  

注意如果   是有界的,则序列是一致收敛。

這種用簡單函數逼近非負函數   的方法,可以用來定義   的勒貝格積分,因為相對來講,簡單函數的積分很好計算。詳情請參閱勒貝格積分

简单函数的积分编辑

如果一个测度 μ 定义在空间(X,Σ)上,則簡單函數   關於 μ 的勒贝格积分是:

 

如果所有的加数都是有限的。

参考文献编辑

  • J. F. C. Kingman, S. J. Taylor. Introduction to Measure and Probability, 1966, Cambridge.
  • S. Lang. Real and Functional Analysis, 1993, Springer-Verlag.
  • W. Rudin. Real and Complex Analysis, 1987, McGraw-Hill.
  • H. L. Royden. Real Analysis, 1968, Collier Macmillan.