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算术基本定理,又称为正整數的唯一分解定理,即:每个大于1的自然数,要么本身就是质数,要么可以写为2個或以上的質數的,而且这些質因子按大小排列之后,写法僅有一種方式。

例如:

算术基本定理的内容由两部分构成:

  • 分解的存在性:
  • 分解的唯一性,即若不考虑排列的顺序,正整数分解为素數乘积的方式是唯一的。

算术基本定理是初等數論中一个基本的定理,也是许多其他定理的逻辑支撑点和出发点。

定义编辑

 . 其中   而且   是一个質数 .

這種表示的方法存在,而且是唯一的。

證明编辑

算术基本定理的最早证明是由欧几里得给出的。准确的说,欧几里得证明了在一般整环上看与算术基本定理等价的命题:若質數 ,则不是  ,就是 。然而,在欧几里得的时代,并没有发展出幂运算和指数的写法,甚至连四个整数的乘积这种算式都被认为是没有意义的,所以欧几里得并没有给出算术基本定理的现代陈述。

必然性编辑

反證法:假設存在大於1的自然數不能寫成質數的乘積,把最小的那個稱為n。

自然數可以根据其可除性(是否能表示成两个不是自身的自然数的乘积)分成3類:質數、合數和1。首先,按照定义, 大于1。其次, 不是質數,因為質數 可以寫成質数乘积: ,這與假設不相符合。因此 只能是合數,但每个合數都可以分解成兩個严格小于自身而大於1的自然數的積。设 ,其中  都是介于1和 之间的自然数,因此,按照 的定义,由于n是大於1的自然數而不能寫成質數的乘積中最小的數,  都可以写成質数的乘积。从而  也可以写成質数的乘积。由此產生矛盾。因此大於1的自然數必可寫成質數的乘積。

唯一性编辑

歐幾里得引理:若質數 ,则不是  ,就是 

引理的证明:若  则证明完毕。若 ,那么两者的最大公约数为1。根据貝祖定理,存在  使得 。于是 。 由于 ,上式右边两项都可以被p整除。所以 

再用反證法:假設有些大于1的自然數可以以多于一种的方式寫成多个質數的乘積,那么假设 是最小的一個。

首先 不是質数。將 用兩種方法寫出:  。根據引理,質数  ,所以  中有一個能被 整除,不妨设为 。但 也是質数,因此  。所以,比 小的正整数 也可以写成  。这与  的最小性矛盾!

因此唯一性得证。

相關编辑

在一般的數域中,並不存在相應的定理;事實上,在虛二次域   之中,只有少數幾個能滿足,最大的一個   。例如, 可以以兩種方式在   中表成整數乘積:  。同樣的,在分圓整數中一般也不存在唯一分解性,而這恰恰是人們在証明費馬大定理時所遇到的陷阱之一。

歐幾里得在普通整數   中証明了算術基本定理──每個整數可唯一地分解為素數的乘積,高斯則在複整數   中得出並証明,只要不計四個可逆元素   之作用,那麼這個唯一分解定理在   也成立。高斯還指出,包括費馬大定理在內的普通素數的許多定理都可能擴大到複數域。

高斯类数编辑

对于二次方程: ,它的根可以表示为:  

因为负数不能开平方, 的符号就很重要,如果为正,有两个根;如果为0,只有一个根;如果为负,没有实根。欧拉的素数公式:    两个复数解為:  

 哪个 值可以得到唯一分解定理?  皆可得到定理,但當 时不能。因为在这个数系中6这个数有两种形式的因子分解(分解至不可分约的情形)。   。在高斯时代,已知有9个 使得 所产生的数有唯一因子分解(  如上面指出那样取值)。  高斯认为 的數量不會超過10個,但是没有人能够证明。 1952年,业余数学家,退休的瑞士工程师庫爾特·黑格納英语Kurt Heegner(Kurt Heegner)发表了他的证明,声称第10个高斯类数不存在。但是没有人相信他。世界又等待了15年之后才知道这个定理:麻省理工学院的斯塔克(Harold Stark)和剑桥大学的阿兰贝克(AlanBaker)独立用不同方法证明了第10个 值不存在。两个人重新检查了希格内尔的工作,发现他的证明是正确的。 为了紀念长期被忽视的希格内尔,上述的9個數被稱為黑格纳数,一些曲线上的点被命名为希格内尔点。 参见《数学新的黄金时代》和其它数学书籍。

外部連結编辑