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算术-几何平均数

两个正实数xy算术-几何平均数定义如下:

首先计算xy算术平均数,称其为a1。然后计算xy几何平均数,称其为g1;这是xy算术平方根

然后重复这个步骤,这样便得到了两个数列(an)和(gn):

这两个数列收敛于相同的数,这个数称为xy算术-几何平均数,记为M(x, y),或agm(x, y)。

例子编辑

欲计算a0 = 24和g0 = 6的算术-几何平均数,首先算出它们的算术平均数和几何平均数:

 
  

然后进行迭代:

 
   etc.

继续计算,可得出以下的值:

n an gn
0 24 6
1 15 12
2 13.5 13.416407864999...
3 13.458203932499... 13.458139030991...
4 13.458171481745... 13.458171481706...

24和6的算术-几何平均数是两个数列的公共极限,大约为13.45817148173。

性质编辑

M(x, y)是一个介于xy的算术平均数和几何平均数之间的数。

如果r > 0,则M(rx, ry) = r M(x, y)。

M(x,y)还可以写为如下形式:

 

其中K(x)是第一类完全椭圆积分

1和 的算术-几何平均数的倒数,称为高斯常数

 

存在性的证明编辑

由算术几何不等式可得

 

因此

 

这意味着   是不降序列。同时,因为两个数的几何平均数是总是介于两个数之间,又可以得到该序列是有上界的(  中的较大者)。根据单调收敛定理,存在   使得:

 

然而,我们又有:

 

从而:

 

证毕。

关于积分表达式的证明编辑

该证明由高斯首次提出[1]。 令

 

将积分变量替换为  , 其中

 

于是可得

 

因此,我们有

 

最后一个等式可由   推出。

于是我们便可得到算术几何平均数的积分表达式:

 

参考文献编辑

引用编辑

  1. ^ David A. Cox. The Arithmetic-Geometric Mean of Gauss. (编) J.L. Berggren, Jonathan M. Borwein, Peter Borwein. Pi: A Source Book. Springer. 2004: 481. ISBN 978-0-387-20571-7.  first published in L'Enseignement Mathématique, t. 30 (1984), p. 275-330

来源编辑

参见编辑