阶梯形矩阵

(重定向自簡化行梯陣式

线性代数中,一個矩阵如果符合下列條件的話,我們稱之為行阶梯形矩阵行梯形式矩阵(英語:Row Echelon Form):

  • 所有非零行(矩阵的行至少有一个非零元素)在所有全零行的上面。即全零行都在矩阵的底部。
  • 非零行的首项系数(leading coefficient),也称作主元,即最左边的首个非零元素,严格地比上面行的首项系数更靠右(某些版本會要求非零行的首项系数必須是1[1])。
  • 首项系数所在列,在该首项系数下面的元素都是零(前两条的推论)。

这个3×4矩阵是行阶梯形矩阵:

有時候,增廣矩陣右邊的直線也會省略。

简化行阶梯形矩阵编辑

简化行阶梯形矩阵簡約行梯形式矩陣reduced row echelon form),也称作行规范形矩阵row canonical form),如果满足额外的条件:

  • 每个首项系数是1,且是其所在列的唯一的非零元素。例如:

 

注意,这并不意味着简化行阶梯形矩阵的左部总是单位阵。例如,如下的矩阵是简化行阶梯形矩阵:

 

因为第3列并不包含任何行的首项系数。

矩阵变换到行阶梯形矩阵编辑

通过有限步的行初等变换,任何矩阵可以变换为行阶梯形矩阵。由于行初等变换保持了矩阵的行空间,因此行阶梯形矩阵的行空间与变换前的原矩阵的行空间相同。

行阶梯形矩阵的结果并不是唯一的。例如,行阶梯形矩阵乘以一个标量系数仍然是行阶梯形矩阵。但是,可以证明一个矩阵的简化行阶梯形矩阵是唯一的。

线性方程组编辑

如果一个线性方程组增广矩阵是行阶梯形矩阵,則其係數矩陣也是行阶梯形矩阵。类似的,如果一个线性方程组的增广矩阵是简化行阶梯形矩阵,則其係數矩陣也是简化行阶梯形矩阵

一些示例编辑

定义:  

例子:  

错误示例:  

注:

  • 矩阵1:第二列的第一非零项1的下方的列项不全为零(有非零项4),见定义第二条,所以不是行阶梯型矩阵。
  • 矩阵2:全为零的行应该在非全为零行的下方,见定义第三条,所以不是行阶梯型矩阵。
  • 矩阵3:k+1行比k行的第一个非零项之前的0少,见定义第三条,所以不是行阶梯型矩阵。

简化行阶梯形矩阵的例子:  

参见编辑

参考来源编辑

  1. ^ Leon, Steve, Linear Algebra with Applications 8th, Pearson: 13, 2009, ISBN 978-0136009290